TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 515

Sei $A={\begin{pmatrix}-1&1\\3&-2\end{pmatrix}}$

Untersuchen Sie, ob die Matrizen $I_{2}$, A und $A_{2}$ im Vektorraum der reellen 2x2-Matrizen linear

unabhängig sind.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag

zuerst mal A² berechnen

$A^{2}={\begin{pmatrix}-1&1\\3&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&1\\3&-2\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}1+3&-1-2\\-3-6&3+4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&-3\\-9&7\end{pmatrix}}$

lineare Abhängigkeit ist dann vorhanden, wenn gilt:

$a\cdot A+b\cdot A^{2}+c\cdot I_{2}=0$

$a\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\3&-2\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}4&-3\\-9&7\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

daraus folgt:

$(-1)\cdot a+4\cdot b+1\cdot c=0$

$1\cdot a+(-3)\cdot b+0\cdot c=0\Rightarrow a=3\cdot b$

$\left(3\cdot a+(-9)\cdot b+0\cdot c=0\Rightarrow a=3\cdot b\right)$

$(-2)\cdot a+7\cdot b+1\cdot c=0\Rightarrow c=2\cdot a-7\cdot b\Rightarrow c=6\cdot b-7\cdot b=-b$

aus der 1. Gleichung ergibt sich nach dem Ersetzten von a und c:

$-3\cdot b+4\cdot b-b=0$

$0=0\qquad$

$\Rightarrow$ es existieren nicht triviale Lösungen (z.B. b = 1, a = 3, c = -1)

$\Rightarrow$ die Matrizen sind linear abhängig