TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 6

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=0}^{n}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2\qquad (n\geq 0)$

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Lösung von Weaver

Induktionsanfang:

$n=0$

Zu zeigen ist also:

$\sum _{j=0}^{0}j2^{j}=2^{1}(-1)+2$

$0*1=-2+2$

$0=0\qquad q.e.d.$

Induktionsvoraussetzung:

Diese entspricht der Angabe:

$\sum _{j=0}^{n}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2$

Induktionsbehauptung:

Die durch die Gleichung beschriebene Eigenschaft überträgt sich von $n$ auf $n+1$:

$\sum _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+2}(n)+2$

Induktionsschritt:

Wir betrachten die Induktionsbehauptung:

$\sum _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+2}(n)+2$

Wir extrahieren den letzten Summanden (mit $j=n+1$) aus der Summe links:

$(\sum _{j=0}^{n}j2^{j})+(n+1)2^{n+1}=2^{n+2}(n)+2$

Wir setzen aus der Induktionsvoraussetzung für die übrig gebliebene Summe ein:

$(2^{n+1}(n-1)+2)+(n+1)2^{n+1}=2^{n+2}(n)+2$

Wir subtrahieren auf beiden Seiten $2$ und heben links $2^{n+1}$ heraus:

$2^{n+1}(n-1+n+1)=2^{n+2}(n)$

Den resultierenden Faktor $2$ aus dem Klammernausdruck $2n$ links verschieben wir in den Exponenten der Potenz (erhöhen ihn also um $1$):

$2^{n+2}n=2^{n+2}n\qquad q.e.d.$