TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 76

Beweisen Sie mit Hilfe von Kongruenzen, dass zwei Quadratzahlen, deren Summe durch 3

teilbar ist, selbst durch 3 teilbar sind.

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Hilfreiches

Wir benötigen folgende Sätze um das Beispiel lösen zu können:

$m|x\Longleftrightarrow x\equiv 0{\pmod {m}}\Longleftrightarrow x=0+q\cdot m$

$m|x\Longrightarrow x\in {\bar {0}}\in \mathbb {Z} _{m}$

Edit/Bemerkung von Anonym:

Wäre hier nicht auch ein Ansatz zu beweisen das

3|a² + b² nur wahr sein kann wenn sowohl 3|a^a als auch 3|b² wahr sind? Also mittels Kontraposition:

3∤a² + 3|b^2 und vice versa verursachen 3∤a² + b²

also:

d ist ein beliebiger Rest, k ist ein Faktor

obda 3∤a => ∃k: 3*k +d = a mit d≠0

⇒ 3∤a² + 3|b² ⇒ 3∤a²+b²

= (3·k+d_a)² + (3·k+d_b)² = (9·k²+6·k·d+{1,4}) + (9·k²+6·k·d+{0,1,4})

Schlussendlich kommt hinaus d_a+d_b mod 3 da alles andre durch 3 teilbar ist.

1+0 mod 3 = 1 mod 3

4+0 mod 3 = 1 mod 3

1+1 mod 3 = 2 mod 3

4+1 mod 3 = 2 mod 3

1+4 mod 3 = 2 mod 3

4+4 mod 3 = 2 mod 3

1 oder 4 kommen durch [0 Rest = m teilt], 1² = 1, 2² Rest = 4 & der zweite Rest ist beliebig, da wir ja wegen dem Kommutativgesetz tauschen dürfen. Keine Summe der Modulo ergibt ein Mehrfaches von 3.

Bsp:

3∤4² & 3|6² ⇒ 3∤ 4² + 6²

3∤16 & 3|36 = 3∤ 16 + 36 = 3∤ 52

1 mod 3 & 0 mod 3 = 1 mod 3 qed