TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 130

Seien $R_1$ und $R_2$ Halbordnungen auf der Menge M. man beweise, dass dann auch ihr Durchschnitt $R=R_1\cap R_2$ Halbordnung auf M ist.

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Hilfreiches

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Prinzipiell muss man sich nur klar werden, dass nur alle jene Tupel $(a,b)\in R$ sind wenn gilt $aRb⟺(a{R}_{1}b)\wedge (a{R}_{2}b)$

damit lassen sich die Eigenschaften einer Halbordung relativ leicht zeigen.

Reflexivität

$aRa⟺(a{R}_{1}a)\wedge (a{R}_{2}a)$

Nachdem die rechte Seite auf jeden Fall gilt ($R_1,R_2$ sind per Definition Halbordnungen), muss auch die linke Seite gelten

Antisymmetrie

$(aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b)⟺((a{R}_{1}b\wedge b{R}_{1}a\Rightarrow a=b)\wedge (a{R}_{2}b\wedge b{R}_{2}a\Rightarrow a=b))$

In anderen Worten: Würde $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$ nicht gelten, dann würde es auch keine Beziehung der Form $a{R}_{1}b\wedge b{R}_{1}a\Rightarrow a=b$ geben. Daher kann aber (a,b) kein Element von R sein.

Transitivität

$aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc⟺((a{R}_{1}b\wedge b{R}_{1}c\Rightarrow a{R}_{1}c)\wedge (a{R}_{2}b\wedge b{R}_{2}c\Rightarrow a{R}_{2}c))$

Nur weil die Transitivität sowohl in $R_1$ als auch $R_2$ gilt, sind die Elemente in der Schnittmenge R. Dadurch gilt die Transitivität aber natürlich auch in der Schnittmenge selbst.