TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 16

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Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge x0=1 und xk+1=axk+b für k≥0 (wobei a,b∈ℝ,a≠1) allgemein gilt:

xn=an+b∗an−1a−1, für alle n≥0.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder 

{{Beispiel|
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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.) 

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Lösungsvorschlag von Az0r

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--Az0r 11:17, 24. Mär. 2019 (CET)

Induktionsanfang:

Wir sehen uns das 2-te Glied der Folge an, wobei der Startwert (erstes Glied) x0=1 aus der Angabe vorgegeben ist.

n:=1x0:=1xk+1=axk+bxn=an+b∗an−1a−1

Somit:

A(n):xn=a∗xn−1+b=an+b∗an−1a−1A(1):x1=a∗x1−1+b=a1+b∗a1−1a−1A(1):x1=a∗x0+b=a1+b∗a1−1a−1a∗1+b=a+b∗a−1a−1a+b=a+b

Induktionsannahme:

∀n∈ℕ,∀(a,b,x)∈ℝ,a≠1,x≥0|A(n):xn=an+b∗an−1a−1

Induktionsbehauptung:

A(n+1):x0+n+1=an+1+b∗an+1−1a−1

Induktionsschluss:

A(n+1):xn+1=a∗xn+b=an+1+b∗an+1−1a−1xn=an+b∗an−1a−1

Somit:

A(n+1):xn+1=a∗(an+b∗an−1a−1)+b=an+1+b∗an+1−1a−1(an+1+a∗b∗an−1a−1)+b=an+1+b∗an+1−1a−1an+1+a∗b∗(an−1)+b∗(a−1)a−1=an+1+b∗an+1−1a−1an+1+b∗a∗(an−1)+(a−1)a−1=an+1+b∗an+1−1a−1an+1+b∗an+1−a+a−1a−1=an+1+b∗an+1−1a−1an+1+b∗an+1−1a−1=an+1+b∗an+1−1a−1

◻.

Az0r 12:23, 24. Mär. 2019 (CET)

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