TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 203

Wieviele natürliche Zahlen n mit $1\le n\le 1000$ gibt es, die durch 3, 5 oder 13 teilbar sind? Wie viele sind weder durch 3, noch durch 5 noch durch 13 teilbar?

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Lösungsvorschlag von mnemetz

• Menge aller Zahlen, die durch 3 teilbar sind: $A_3$
• Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind: $A_5$
• Menge aller Zahlen, die durch 13 teilbar sind: $A_{13}$
• Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 teilbar sind: $A_3\cap A_5$
• Menge aller Zahlen, die durch 3 und 13 teilbar sind: $A_3\cap A_{13}$
• Menge aller Zahlen, die durch 5 und 13 teilbar sind: $A_5\cap A_{13}$
• Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 und 13 teilbar sind: $A_3\cap A_5\cap A_{13}$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\le n\le 1000$, die durch 3, 5 oder 13 teilbar sind:

$|A_3|+|A_5|+|A_{13}|-|A_3\cap A_5|-|A_3\cap A_{13}|-|A_5\cap A_{13}|+|A_3\cap A_5\cap A_{13}|=$

$=\frac{1000}{3}+\frac{1000}{5}+\frac{1000}{13}-\frac{1000}{3\ast 5}-\frac{1000}{3\ast 13}-\frac{1000}{5\ast 13}+\frac{1000}{3\ast 5\ast 13}=$

$=333+200+76-66-25-15+5=508$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\le n\le 1000$, die weder durch 3, 5 oder 13 teilbar sind:

$1000-508=492$