TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 241

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $a_n=2a_{n-1}+(1+2^n{)}^2(n\ge 1),a_0=2$

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Lösungsvorschlag von Setscha

Zuerst müssen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ausrechnen. Das machen wir mit der Formel $a_n^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{a}_i$. In unserem Fall also

$a_n^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}2=C{2}^{n-1}$

Jetzt müssen wir noch die partikuläre Lösung ausrechnen. Da unsere Störfunktion $(1+2^n{)}^2=1+2^{n+1}+2^{2n}$ ist, wenden wir das Superpositionsprinzip an. Dadurch haben wir drei partikuläre Lösungen mit den folgenden Ansätzen (siehe Buch S. 301):

$\begin{array}{cc}{s}_n^{(1)}=1& ⟹a_n^{(1)}=A\\ s_n^{(2)}=2^{n+1}& ⟹a_n^{(2)}=An{2}^{n+1}\text{(Mal n, weil es sich hier um einen Resonanzfall handelt)}\\ s_n^{(3)}=2^{2n}& ⟹a_n^{(2)}=A{2}^{2n}\\ \end{array}$

Jetzt rechnen wir für jeden Ansatz A aus, indem wir die jeweiligen Ansätze in die ursprüngliche Gleichung einsetzten (nur mit ihrer eigenen Störfunktion):

$a_n^{(1)}:\begin{array}{ccc}A& =2\ast A+1& |-2A\\ -A& =1& |\ast (-1)\\ A& =-1\end{array}$

$a_n^{(2)}:\begin{array}{ccc}An{2}^{n+1}& =2\ast A(n-1)2^{n+1}+2^{n+1}& |:2^{n+1}\\ An& =An-A+1& |-An+A\\ A& =1\end{array}$

$a_n^{(3)}:\begin{array}{cc}A{2}^{2n}& =2\ast A{2}^{2(n-1)}+2^{2n}\\ A{2}^{2n}& =A{2}^{2n-1}+2^{2n}& |:2^{2n}\\ A& =\frac{A}{2}+1\\ A& =2\end{array}$

Jetzt können wir uns die Lösungsgesamtheit $a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(1)}+a_n^{(2)}+a_n^{(3)}$ ausrechnen, indem wir die jeweiligen A in die partikulären Lösungen einsetzen:

$a_n=\underset{a_n^{(h)}}{\underbrace{C{2}^{n-1}}}-\underset{a_n^{(1)}}{\underbrace{1}}+\underset{a_n^{(2)}}{\underbrace{n{2}^{n+1}}}+\underset{a_n^{(3)}}{\underbrace{2\ast 2^{2n}}}$

Zum Schluss müssen wir nur noch durch Einsetzen von $a_0=2$ C ausrechnen:

$\begin{array}{cc}2& =C\ast 2^{0-1}-1+0\ast 2^{0+1}+2^{2\ast 0+1}\\ 2& =\frac{C}{2}-1+2& |-2+1\\ 1& =\frac{C}{2}& |\ast 2\\ C& =2\\ \end{array}$

dann haben wir die Lösung:

$\begin{array}{cc}{a}_n& =2\ast 2^{n-1}-1+n{2}^{n+1}+2\ast 2^{2n}\\ & =2^n-1+n{2}^{n+1}+2^{2n+1}\end{array}$