TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 356

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M=\mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\},a\circ b=a/b$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\to a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\to G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von bonomat

Abgeschlossenheit

Wenn $a,b\in \mathbb{Q}$, muss auch gelten: $a\circ b\in \mathbb{Q}$, daraus folgt $a/b\in \mathbb{Q}$. Ist erfüllt.

Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da $a,b\in \mathbb{Q}$ kann man schreiben: $a=\frac{p}{q},b=\frac{r}{s}$

Jetzt einsetzen:

$a/b=\frac{\frac{p}{q}}{\frac{r}{s}}=\frac{p\ast s}{q\ast r}$

Und das ist wieder $\in \mathbb{Q}$

Assoziativität

Es muss gelten: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in M$.

bei uns ist das dann:

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{1}}=\frac{a\ast 1}{b\ast c}$ und

$\frac{\frac{a}{1}}{\frac{b}{c}}=\frac{a\ast c}{b\ast 1}$

also

links und rechts kommt nicht das gleiche heraus. nicht assoziativ.

Denke das Stimmt so nicht: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$a/b\circ c=a\circ b/c$

$a/b/c=a/b/c$

Sprich sind gleich!

Falsch. Setz mal zahlen ein

Du hast die Klammern vom 1. Schritt im 2. Schritt vergessen.

(45:15):3 = 45: (15:3) woraus folgt 3:3 = 45: 3 woraus folgt 1 = 15 was nicht stimmen kann

Neutrales Element

$a\circ e=a$

$a/e=a$

$e=1$

Inverses Element

$a\circ a^{\prime }=e$

$a/a^{\prime }=1$

$a^{\prime }=a$

==> Es gibt ein inverses Element

Kommutativität

$a\circ b=b\circ a$
$a/b=b/a$

Nach dem das nicht der Fall ist, ist die Gruppe nicht kommutativ und somit, nur eine normale Gruppe

Schlussfolgerung

Es liegt eine Gruppe vor

Also doch keine, weil ja Assoziativität nicht gegeben war. Also bloß ein Gruppoid.