TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 369

Man beweise die Gültigkeit der folgenden Rechenregeln in einer Gruppe

$(G,\cdot )$ für beliebige $a,b,c\in G$:

(i) $a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$ (Kürzungsregel)

(ii) $(a^{-1}{)}^{-1}=a$

(iii) $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$

(iv) Die Gleichung $a\cdot x=b$ ist in $G$ stets

eindeutig lösbar.

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Lösung von themoep

Erinnert euch: Eine Gruppe ist abgeschlossen, besitzt Assoziativitaet, hat ein Einheitselement und ein Inverses Element $a^{-1}$ zu a. Diese Rechenregeln werden hier angewandt.

Hinweis: $a^{-1}=a^{\prime }$

(i)

$a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$
$b=e\cdot b=(a^{\prime }\cdot a)\cdot b=a^{\prime }\cdot (a\cdot b)=a^{\prime }\cdot (a\cdot c)=(a^{\prime }\cdot a)\cdot c=e\cdot c=c$

(ii)

$(a^{-1}{)}^{-1}=a$
$a=a\cdot e=a\cdot (a^{-1}\cdot (a^{-1}{)}^{-1})=(a\cdot a^{-1})\cdot (a^{-1}{)}^{-1}=e\cdot (a^{-1}{)}^{-1}=(a^{-1}{)}^{-1}$

(iii)

$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$
$b^{-1}{a}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}\cdot e$
$=(b^{-1}{a}^{-1})\cdot ((a\cdot b)\cdot (a\cdot b{)}^{-1}$)
$=((b^{-1}{a}^{-1})\cdot (a\cdot b))\cdot (a\cdot b{)}^{-1}$
$=(b^{-1}\cdot (a^{-1}\cdot a)\cdot b)\cdot (a\cdot b{)}^{-1}$
$=((b^{-1}\cdot e)\cdot b)\cdot (a\cdot b{)}^{-1}$
$=(b^{-1}\cdot b)\cdot (a\cdot b{)}^{-1}$
$=e\cdot (a\cdot b{)}^{-1}=(a\cdot b{)}^{-1}$

(iv)

$a\cdot x=b$
$x=e\cdot x=(a^{-1}\cdot a)\cdot x=a^{-1}\cdot (a\cdot x)=a^{-1}\cdot b$

Lösung von Juggl3r

(i)

$a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$

Wir sehen, dass auf beiden Seiten der Gleichung links a steht. Wir multiplizieren also die Gleichung von links mit a^-1. (Achtung, wirklich von Links multiplizieren, da Kommutativität nicht gegeben ist.)

$a^{-1}\cdot a\cdot b=a^{-1}\cdot a\cdot c$

$e\cdot b=e\cdot c$

$b=c$

qed.

(ii)

$(a^{-1}{)}^{-1}=a$

Die Eigenschaft eines inversen Elementes ist ja:

$a^{-1}\cdot a=e$

Das Gleiche können wir aber auf $a^{-1}$ anwenden, also:

$(a^{-1}{)}^{-1}\cdot a^{-1}=e$

Allerdings muss auf Grund der Eigenschaften des inversen Elementes auch folgendes gelten (man kann es vertauschen):

$a^{-1}\cdot (a^{-1}{)}^{-1}=e$

Als nächsten Schritt multiplizieren wir von links mit a:

$a\cdot a^{-1}\cdot (a^{-1}{)}^{-1}=a\cdot e$

Und daraus ergibt sich schließlich:

$(a^{-1}{)}^{-1}=a$

qed

(iii)

siehe oben

(iv)

$a\cdot x=b$
$x=e\cdot x=(a^{-1}\cdot a)\cdot x=a^{-1}\cdot (a\cdot x)=a^{-1}\cdot b$

Damit haben wir einmal bewiesen, dass die Gleichung lösbar ist. Wir müssen aber beweisen, dass die Gleichung eindeutig lösbar ist:

Dazu nehmen wir einmal an, dass es 2 Lösungen gibt:

$a\cdot x1=b$

$a\cdot x2=b$

Wir lösen die 2 Gleichungen:

$x1=a^{-1}\cdot b$

$x2=a^{-1}\cdot b$

Jetzt setzen wir gleich:

$x1=x2$

Also eindeutig lösbar.

qed.

Hoffe ich konnte helfen, gebe aber keine Gewähr, dass Lösungen stimmen!

Lösung für (iii) von Ryus

Die oben vorgeschlagene Lösung funktioniert zwar, ich finde es jedoch etwas schwer drauf zu kommen. Daher hier eine möglicherweise einfachere Lösung:

Genau dann wenn $b^{-1}{a}^{-1}$ das Inverse zu $ab$ ist, muss gelten: $(ab)(b^{-1}{a}^{-1})=e$.

Also rechnen wir das einfach mal unter mehrmaliger Anwendung des Assoziativgesetzes aus:

$(ab)(b^{-1}{a}^{-1})$

$=a(b(b^{-1}{a}^{-1}))$

$=a((b{b}^{-1})a^{-1})$

$=a(e)a^{-1}$

$=a{a}^{-1}=e$

Damit ist die Aussage bewiesen.

--Ryus (Diskussion) 14:33, 23. Sep. 2015 (CEST)