TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 434

Sei $<R,+,\cdot >$ ein Ring, in dem $a^{2}=a$ für alle $a\in R$ gilt. Man zeige, dass dann auch $a+a=0$ für alle $a\in R$ gilt. (Hinweis: Man betrachte $(a+a)^{2}$)

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Lösung

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird $(a+a)^{2}$ mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

$(a+a)^{2}=(a+a)\cdot (a+a)=a\cdot (a+a)+a\cdot (a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}$

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt $(a+a)\cdot (a+a)$ auflösen lassen.

$\Rightarrow (a+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}$

Da jedes beliebige $a^{2}=a$ ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

$a+a=a+a+a+a$

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

$0=a+a$

Voilà!

Anmerkung:

$0=a+a$

$-a=a$

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).

Kürzere Lösung

Dies ist nur eine schnellere und aus meiner Sicht einfachere Lösung aus dem Vorgehen in "Lösung".

Kurze Schreibweise:

$a^{2}=a\Rightarrow 0=a+a$

$a+a=2a=4a$

$\Leftrightarrow 0=2a\Leftrightarrow 0=a+a$

$\square$

Erklärung

Die Angabe kann man wie folgt interpretieren:

$a^{2}=a\Rightarrow 0=a+a$

Wir schreiben nun einfach um:

$a+a=2a=(2a)^{2}=4a^{2}=4a$

daraus folgt: $2a=4a$

Nun addieren $2\cdot (-a)$ auf beiden Seiten (wir ziehen $2a$ ab):

$0=2a$

Wir haben im vorherigen Schritt bereits beschrieben, dass $a+a=2a$ daraus Folgt $0=a+a$ was zu zeigen war

Hilfsmittel von Har203

Ring

Eine algebraische Struktur $\left\langle R,+,\circ \right\rangle$ mit zwei binären Operationen heißt Ring, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:

1. $\left\langle R,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$),
2. $\left\langle R,\circ \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die Distributivgesetze:

$\left.{\begin{aligned}a\circ (b+c)&=a\circ b+a\circ c\\(a+b)\circ c&=a\circ c+b\circ c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in R.$

Besitzt $R$ bezüglich $\circ$ ein neutrales Element, so nennt man $R\,$ Ring mit Einselement, und ist $R\,$ bezüglich $\circ$ kommutativ, so nennt man $R\,$ kommutativen Ring.

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,+\right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$+\colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}+b\,\in G\,,$
$a,b\in G\implies \mathbf {a+b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a+b)+c=a+(b+c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a+e=e+a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,{-a}\in G$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=e$.

Lösung von Har203

Sei $\left\langle R,+,\circ \right\rangle$ ein Ring, dann existiert in der Gruppe $\left\langle R,+\right\rangle$ bezüglich + für jedes $a\in R$ das Inverse Element $(-a)$.

Wir wissen, dass alle Elemente $a\in R$ bezüglich $\circ$ idempotent sind, also es gilt$\colon \,a^{2}=a\circ a=a$. Sei $a\in R$, dann gilt wegen der Idempotenz bezüglich $\circ$

$(a+a)^{2}=\color {green}(a+a)\color {black}$

Wir können (a+a)^2 aber auch ausrechnen und erhalten:

   $(a+a)^{2}=(a+a)\circ (a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=\color {green}a+a+a+a\color {black}\qquad$ausgerechnet und vier Mal die Idempotenz für $a^{2}=a$ angewendet.

Also zusammen gilt aus der ersten und der zweiten Gleichung

$a+a=a+a+a+a$

Zu jedem $a$ gibt es bezüglich + das inverse Element $(-a)$, welches wir in der Gleichung zweimal dazu addieren.

${\begin{aligned}a+a=&\,a+a+a+a\quad \vert +(-a)\implies &&a+(a-a)=a+a+a+(a-a)&&\implies a+0=a+a+a+0&&\implies \\\implies &a=a+a+a\quad \vert +(-a)\implies &&(a-a)=a+a+(a-a)&&\implies 0=a+a+0&&\implies \color {green}0=a+a\color {black}.\end{aligned}}$

$\qquad \blacksquare$