TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 454

Sei $M$ die Menge aller Teiler von 60. Bestimmen Sie alle Komplemente in $(M,ggT,kgV)$. Ist diese Struktur eine Boolsche Algebra?

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Lösungsvorschlag von m4rS

Teiler sind (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)

Neutrales Element bzgl ggT=60, kgV=1 (ggt(x,60)=x, kgV(x,1)=x)

Boolsche Algebra:

ggT(a,a')=1, kgV(a,a')=60, wir sollen ein a finden wos kein a' gibt, Lösung ist a=2

Lösungsvorschlag von Piri

$M$ ist durch die Angabe als $M=\{n\in {\mathbb{N}}^{+}\mid n|60\}$ gegeben.

Ausgerechnet ergibt das $M=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$.

Das Neutrale Element bzgl. des ggT ist 60, bzgl. des kgV ist es 1. Also gilt $ggT(a,60)=a$ und $kgV(b,1)=b$

Achtung! D.h. das 0-Element ist 1 und das 1-Element ist 60!

Alle Komplemente finden:

Für ein Komplement $a^{\prime }$ von einem Element $a\in M$ muss folgendes gelten:

$kgV(a,a^{\prime })=60ggT(a,a^{\prime })=1$

Daraus folgt, dass die beiden relativ prim sein müssen und $a\cdot a^{\prime }=60$

Um nun alle Komplemente zu finden hilft es sich die Primfaktorenzerlegung von 60 aufzuschreiben: $60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$. Aus den Bedingungen die wir vorher abgeleitet haben sieht man schnell, dass es 4 komplementäre Paare gibt:

$(1,60)(3,20)(5,12)(15,4)$

Es handelt sich hier also um keine Boolesche Algebra da z.B. Das Element 2 kein Komplement hat.

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Diskussion Informatik Forum WS 07 Beispiel 319