TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 576

Man berechne

$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 7\\ 1& 1& -6& -8\\ 3& 1& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right)$

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Hilfreiches

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix kann an der Diagonale 'abgelesen' werden. Je nachdem wie man zu dieser gekommen ist, muss man diesen Wert mit ein oder mehreren Faktoren multiplizieren.

Satz 3.58 aus dem orangenen Buch:

(i) Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $A$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det{A}^{\prime }=\lambda detA$.

(ii) Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht.

(iii) Vertauscht man in einer Matrix $A$ zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det{A}^{\prime }=-detA$.

Lösungsvorschlag von Zatoby

$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 7\\ 1& 1& -6& -8\\ 3& 1& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right)\begin{array}{c}III\leftarrow III-3\cdot II\\ IV\leftarrow IV-II\\ IV\leftarrow IV+5\cdot I\\ \\ \end{array}$

$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 7\\ 1& 1& -6& -8\\ 0& -2& 16& 29\\ 0& 0& 28& 55\end{array}\right)\begin{array}{c}III\leftarrow III+2\cdot I\\ I\rightleftarrows II\\ \\ \\ \end{array}$

$\to$ ACHTUNG: Zeilen vertauschen bedeutet das Vorzeichen dreht sich um! $(\cdot (-1))$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -6& -8\\ 0& 1& 3& 7\\ 0& 0& 22& 43\\ 0& 0& 28& 55\end{array}\right)\begin{array}{c}IV\leftarrow IV-\frac{28}{22}\cdot III\\ \\ \\ \\ \end{array}$

$\to$ Das ist ein bisschen zach per Hand, aber möglich.

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -6& -8\\ 0& 1& 3& 7\\ 0& 0& 22& 43\\ 0& 0& 0& \frac{(22\cdot 55)-(43\cdot 28)}{22}\end{array}\right)$

$\Rightarrow 22\cdot \frac{(22\cdot 55)-(43\cdot 28)}{22}\cdot (-1)\leftarrow wegenZeilentausch$

Die 22 kürzt sich weg und uns bleibt:

$(22\cdot 55)-(43\cdot 28)\cdot (-1)=(1210-1204)\cdot (-1)=-6$