TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 589

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix $A$ sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren: $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$

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Lösungsvorschlag von sleepwalker

$det(\lambda \ast I_n-A)=0$
$det\left(\begin{array}{cc}\lambda -3& 1\\ 1& \lambda -3\end{array}\right)=0$
${\lambda }^2-6\ast \lambda +8=0$
${\lambda }_1=4,{\lambda }_2=2$
$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\ast x=0\to x_1=-x_2$
$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\ast x=0\to x_1=x_2$

Eigenwerte:
${\lambda }_1=4$
${\lambda }_2=2$

Eigenvektoren:
$\left[\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\right]$
$\left[\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\right]$

Anmerkung: Ich hab‘ bei den Vektoren jeweils ein t davor... t Element reele Zahlen

Hilfreiches von Har203

Eigenvektor und Eigenwert

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert, wobei man den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung bezeichnet.

Definition: Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und $f:V\to V$ ein Endomorphismus, so bezeichnet man als Eigenvektor einen Vektor $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0_V}$, der durch $f$ auf ein Vielfaches $\lambda \cdot \overrightarrow{v}$ von sich selbst mit $\lambda \in K$ abgebildet wird:

$f(\overrightarrow{v})=\lambda \cdot \overrightarrow{v}$

Den Faktor $\lambda$ nennt man dann den zugehörigen Eigenwert.

Hat der Vektorraum eine endliche Dimension $\dim (V)=n\in \mathbb{N},$ so kann jeder Endomorphismus $f$ durch eine quadratische $(n\times n)$-Matrix $A$ beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung

$A\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot \overrightarrow{x}$

schreiben, wobei $\overrightarrow{x}$ hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt in diesem Fall eine Lösung $\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0_V}$ Eigenvektor und $\lambda$ Eigenwert der Matrix $A$.

Diese Gleichung kann man auch in der Form

$A\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot E^{n\times n}\cdot \overrightarrow{x}$

schreiben, wobei $E$ die Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu

$(A-\lambda \cdot E)\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0_V}\wedge (\lambda \cdot (E-A))\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0_V}$

umformen.

• Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Wenn $\overrightarrow{x}$ ein Eigenvektor ist, dann ist auch $\lambda \cdot \overrightarrow{x}$ mit beliebigem $\lambda \in K$ Eigenvektor.

Lösungsvorschlag von Har203

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektor (über $K$):

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$

Folgende Gleichung werden wir lösen:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ -1& 3-\lambda \end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})$

Für die Gleichung werden wir die Determinante berechnen und diese auf $0$ setzen:

$det(A^{\ast })=(3-\lambda {)}^2-1={\lambda }^2-6\cdot \lambda +8⟹{\lambda }_{1/2}=3\pm \sqrt{9-8}=3\pm \sqrt{1}=3\pm 1⟹{\lambda }_1=2\wedge {\lambda }_2=4$

Die beiden Eigenwerte der Abbildung $A$ sind $2$ und $4$ mit einfacher Vielfachheit. Daher müssen wir diese beiden Gleichungssysteme lösen

$A_1^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3-{\lambda }_1& -1\\ -1& 3-{\lambda }_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\wedge A_2^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3-{\lambda }_2& -1\\ -1& 3-{\lambda }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)$

• Gleichungssystem für $A_1$ mit Eigenwert $2$:

$A_1^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \to +Z1\end{array}\to \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 0\end{array}\right)$

Das resultierende Gleichungssystem ist $1\cdot x_1+(-1)\cdot x_2=0$. D.h. wir können für $x_1$ frei einen Wert $\lambda \in K$ auswählen und $x_2=x_1$ leitet sich dann ab.

D.h. zum Eigenwert $2$ wählen wir einen Eigenvektor $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$ und für alle Eigenvektoren zum Eigenwert $2$ gilt:

$\{\overrightarrow{x}\in K^2\mid \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}),\lambda \in K\}$ - das entspricht der 1.Mediane.

• Gleichungssystem für $A_2$ mit Eigenwert $4$:

$A_2^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}\cdot (-1)\\ \to -Z1\end{array}\to \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

Das resultierende Gleichungssystem ist $1\cdot x_1+1\cdot x_2=0$. D.h. wir können für $x_1$ frei einen Wert $\lambda \in K$ auswählen und $x_2=-x_1$ leitet sich dann ab.

D.h. zum Eigenwert $4$ wählen wir einen Eigenvektor $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1})$ und für alle Eigenvektoren zum Eigenwert $4$ gilt:

$\{\overrightarrow{x}\in K^2\mid \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}),\lambda \in K\}$ - das entspricht der 2.Mediane.

$◼$

Beispiele der Abbildung Har203

Einige Beispiele der linearen Abbildung:

$\begin{array}{ccccccccccccccccc}A\cdot & \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)\cdot & \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right):& \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\\ & \left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)& \to \left(\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}16\\ -16\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)& \to & \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\end{array}$