TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 18

Man bestimme Volumen und Oberfläche eines Torus. (Dabei beachte man die in Aufgabe 4. angegebene Parametrisierung.)

Lösungsvorschlag

Da in Aufgabe 4 nur die Parametrisierung der Oberfläche angegeben ist muss diese zunächst für das Volumen formuliert werden. Dies erreicht man durch einen variablen Radius $0<r^{\prime }<r$ um alle Punkte innerhalb des Torus zu erhalten:
$\overrightarrow{x}(\theta ,\phi ,r^{\prime })=\left(\begin{array}{c}x(\theta ,\phi ,r^{\prime })\\ y(\theta ,\phi ,r^{\prime })\\ z(\theta ,\phi ,r^{\prime })\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(R+r^{\prime }\cos \theta )\cos \phi \\ (R+r^{\prime }\cos \theta )\sin \phi \\ r^{\prime }\sin \theta \end{array}\right)$ mit $0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le 2\pi ,0\le r^{\prime }\le r$

Und die Jakobi Matrix:

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial \phi }& \frac{\partial x}{\partial r^{\prime }}\\ \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial \phi }& \frac{\partial y}{\partial r^{\prime }}\\ \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial \phi }& \frac{\partial z}{\partial r^{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-r^{\prime }\sin \theta \cos \phi & -(R+r^{\prime }\cos \theta )\sin \phi & cos\theta \cdot sin\phi \\ -r^{\prime }\sin \theta \sin \phi & (R+r^{\prime }\cos \theta )\cos \phi & cos\theta \cdot cos\phi \\ r^{\prime }cos\theta & 0& sin\theta \end{array}\right)$

Das Volumen erhält man indem man alle Punkte zählt die sich innerhalb des Torus befinden. Das entspricht folgendem Integral:

${\iiint }_{{ℝ}^3}f(x,y,z)\partial x\partial y\partial z$

wobei f(x,y,z)=1 wenn der Punkt (x,y,z) sich im Torus befindet, sonst 0. Das ist aber äquivalent zum Integral einer konstanten funktion g(x,y,z)=1 über dem Bereich mit den gleichen Eigenschaften:$p=(x,y,z)\in B\iff (x,y,z)$ sich im Torus befindet. Damit erhält man:

${\iiint }_{B}1\partial x\partial y\partial z$

Über dem definierten Bereich lässt sich schwer integrieren, daher substituiert man es in eine einfachere Form. Durch die Parametrisierung ist bekannt, dass $(x(\theta ,\phi ,r^{\prime }),y(\theta ,\phi ,r^{\prime }),z(\theta ,\phi ,r^{\prime }))\in B\iff 0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le 2\pi ,0\le r^{\prime }\le r$ Daraus formuliert man folgendes Integral:

${\int }_0^r{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }h(\theta ,\phi ,r^{\prime })\partial \theta \partial \phi \partial r^{\prime }$
Die Funktion $h(\theta ,\phi ,r^{\prime })$ lässt sich mit Hilfe der Ableitungen in der Jakobi Matrix herleiten:
$\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \theta }& =-r^{\prime }\sin \theta \cos \phi \\ \Rightarrow \partial x& =\partial \theta \cdot -r^{\prime }\sin \theta \cos \phi \\ \frac{\partial y}{\partial \phi }& =(R+r^{\prime }\cos \theta )\\ \Rightarrow \partial y& =\partial \phi \cdot (R+r^{\prime }\cos \theta )\cos \phi \\ \frac{\partial z}{\partial r^{\prime }}& =\sin \theta \\ \Rightarrow \partial z& =\partial r^{\prime }\cdot \sin \theta \\ \end{array}$

Und daher schlussendlich:
$\begin{array}{cc}{\int }_0^r{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }h(\theta ,\phi ,r^{\prime })\partial \theta \partial \phi \partial r^{\prime }& ={\int }_0^r{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }-r^{\prime }\sin \theta \cos \phi \cdot (R+r^{\prime }\cos \theta )\cos \phi \cdot \sin \theta \partial \theta \partial \phi \partial r^{\prime }\\ & =\mathrm{...}\\ & =-\frac{1}{2}{\pi }^2{r}^{2}R\end{array}$

Das Integral bei Wolfram alpha: [1]

Frage:

Soweit sieht es ziemlich gut aus, allerdings ist das Torus-Volumen in Wirklichkeit (laut Wikipedia[2]) $2{\pi }^2{r}^{2}R$.
Das negative Vorzeichen kann man durch Änderung der Bereichsrichtung eliminieren: [3] aber was ist mit dem konstanten Faktor 4? Sieht jemand den Fehler?

Meine Meinung dazu

ich denke da hats was mit der Jakobimatrix, ich hab da andere Werte rausbekommen.

Jedenfalls zerfällt die Determinante der Jakobimatrix, wenn auch etwas umständlich, in die einfache Form: R*r+r^2*cos(theta) (ok, eigentlich mit neg. Vorzeichen, aber das ließe sich mit Grenzenverdrehen ohnehin eliminieren)

Das Integrieren ist dann einfach: über theta integrieren, Grenzen einsetzen: R*r*2pi

über phi integrieren mit Grenzen: (2pi)^2*R*r. Bei der Oberfläche sind wir hier fertig, r ist als Kostante zu betrachten.

beim Volumen ist r als Variable zu betrachten, wir integrieren nochmal über r von 0 bis r' und bekommen 2*(pi^2)*R*r'^2

Pete am 8.3.18

Da ist ein Fehler in der Jacobimatrix. Es wurde $cos\theta \cdot sin\phi$ mit $cos\theta \cdot sin\phi$ vertauscht an den Stellen von $\frac{\partial x}{\partial r^{\prime }}$ und $\frac{\partial y}{\partial r^{\prime }}$ in der 3ten Spalte

Korrekte Jacobi Matrix:

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial \phi }& \frac{\partial x}{\partial r^{\prime }}\\ \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial \phi }& \frac{\partial y}{\partial r^{\prime }}\\ \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial \phi }& \frac{\partial z}{\partial r^{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-r^{\prime }\sin \theta \cos \phi & -(R+r^{\prime }\cos \theta )\sin \phi & cos\theta \cdot cos\phi \\ -r^{\prime }\sin \theta \sin \phi & (R+r^{\prime }\cos \theta )\cos \phi & cos\theta \cdot sin\phi \\ r^{\prime }cos\theta & 0& sin\theta \end{array}\right)$

Determinante ist $-r^{\prime }\ast (r\ast \cos \theta +R)=r{\text{'}}^2\ast (-\cos \theta )-r^{\prime }\ast R$ -> Grenzen vertauschen -> $r{\text{'}}^2\ast (\cos \theta )+r^{\prime }\ast R$

Links

• Diskussion im Informatikforum