TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 3

Man gebe eine Parametrisierung für die Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem Radius $R$ und der $z$-Achse als Rotationsachse an. Für welche Parameterwerte erhält man den Punkt $P\left(R/{\sqrt {2}},R/{\sqrt {2}},3\pi /4\right)$ auf der Zylinderoberfläche?

Gesucht sind ferner die Parameterdarstellungen für folgende drei Kurven durch den Punkt $P$ auf der Mantelfläche: (a) eine Meridianlinie (d.h. Parallele zur Zylinderachse), (b) einen Breitenkreis und (c) eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe $2\pi$.

Lösungsvorschlag

Zylinderoberfläche

Ausgehend von einem Kreis kann man für die x-Kooardinate den Kosinus und für die y-Koordinate den Sinus verwenden.

$f(r,\varphi ,z)={\begin{pmatrix}r\cdot \cos \varphi \\r\cdot \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}$

Aus $f(r,\varphi ,z)=P\left(R/{\sqrt {2}},R/{\sqrt {2}},3\pi /4\right)$ ergeben sich folgende zu erfüllende Gleichungen:

$r\cos \varphi ={\frac {R}{\sqrt {2}}}$

$r\sin \varphi ={\frac {R}{\sqrt {2}}}$

$z={\frac {3\pi }{4}}$

$r\cos \varphi ={\frac {R}{\sqrt {2}}}=r\sin \varphi$ führt zu $\cos \varphi =\sin \varphi$, das bei $\varphi ={\frac {\pi }{4}}$ gilt.

$r\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {R}{\sqrt {2}}}$ führt zu $r={\frac {R}{{\sqrt {2}}\cdot \cos {\frac {\pi }{4}}}}=R$

Das ergibt $r=R$, $\varphi ={\frac {\pi }{4}}$ und $z={\frac {3\pi }{4}}$ als Parameterwerte für $f$.

Beispiel (a)

$f_{a}(t)={\begin{pmatrix}R/{\sqrt {2}}\\R/{\sqrt {2}}\\t\end{pmatrix}}$

x und y Kooardinate ist jeweils fix und der Wert auf der z-Achse wird über den Parameter $t$ angegeben.

Beispiel (b)

$f_{b}(t)={\begin{pmatrix}R\cdot \cos t\\R\cdot \sin t\\{\frac {3\pi }{4}}\end{pmatrix}}$

$t$ ergibt mittels Kosinus und Sinus die Werte für die x und y Kooardinate. z ist hier immer fix.

Beispiel (c)

$f_{c}(t)={\begin{pmatrix}R\cdot \cos t\\R\cdot \sin t\\t+{\frac {\pi }{2}}\end{pmatrix}}$

Wie (b) nur muss die Funktion für den z-Wert hier aufgrund von $R\cdot \cos t=R\cdot \sin t={\frac {R}{\sqrt {2}}}$ (woraus $t={\frac {\pi }{4}}$ folgt) so gewählt werden, dass man bei $t={\frac {\pi }{4}}$ den Wert ${\frac {3\pi }{4}}$ erhält.