TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 3

Man gebe eine Parametrisierung für die Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem Radius $R$ und der $z$-Achse als Rotationsachse an. Für welche Parameterwerte erhält man den Punkt $P(R/\sqrt{2},R/\sqrt{2},3\pi /4)$ auf der Zylinderoberfläche?

Gesucht sind ferner die Parameterdarstellungen für folgende drei Kurven durch den Punkt $P$ auf der Mantelfläche: (a) eine Meridianlinie (d.h. Parallele zur Zylinderachse), (b) einen Breitenkreis und (c) eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe $2\pi$.

Lösungsvorschlag

Zylinderoberfläche

Ausgehend von einem Kreis kann man für die x-Kooardinate den Kosinus und für die y-Koordinate den Sinus verwenden.

$f(r,\phi ,z)=\left(\begin{array}{c}r\cdot \cos \phi \\ r\cdot \sin \phi \\ z\end{array}\right)$

Aus $f(r,\phi ,z)=P(R/\sqrt{2},R/\sqrt{2},3\pi /4)$ ergeben sich folgende zu erfüllende Gleichungen:

$r\cos \phi =\frac{R}{\sqrt{2}}$

$r\sin \phi =\frac{R}{\sqrt{2}}$

$z=\frac{3\pi }{4}$

$r\cos \phi =\frac{R}{\sqrt{2}}=r\sin \phi$ führt zu $\cos \phi =\sin \phi$, das bei $\phi =\frac{\pi }{4}$ gilt.

$r\cos \frac{\pi }{4}=\frac{R}{\sqrt{2}}$ führt zu $r=\frac{R}{\sqrt{2}\cdot \cos \frac{\pi }{4}}=R$

Das ergibt $r=R$, $\phi =\frac{\pi }{4}$ und $z=\frac{3\pi }{4}$ als Parameterwerte für $f$.

Beispiel (a)

$f_a(t)=\left(\begin{array}{c}R/\sqrt{2}\\ R/\sqrt{2}\\ t\end{array}\right)$

x und y Kooardinate ist jeweils fix und der Wert auf der z-Achse wird über den Parameter $t$ angegeben.

Beispiel (b)

$f_b(t)=\left(\begin{array}{c}R\cdot \cos t\\ R\cdot \sin t\\ \frac{3\pi }{4}\end{array}\right)$

$t$ ergibt mittels Kosinus und Sinus die Werte für die x und y Kooardinate. z ist hier immer fix.

Beispiel (c)

$f_c(t)=\left(\begin{array}{c}R\cdot \cos t\\ R\cdot \sin t\\ t+\frac{\pi }{2}\end{array}\right)$

Wie (b) nur muss die Funktion für den z-Wert hier aufgrund von $R\cdot \cos t=R\cdot \sin t=\frac{R}{\sqrt{2}}$ (woraus $t=\frac{\pi }{4}$ folgt) so gewählt werden, dass man bei $t=\frac{\pi }{4}$ den Wert $\frac{3\pi }{4}$ erhält.