TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 214

Man bestimme die Laplace-Transformierten der folgenden Funktionen:

(a) $f(t)=1+2t+3t^{2}$

(b) $g(t)=e^{4+5t}$

(c) $h(t)=e^{i\omega t}$, $h_{1}(t)=\cos {\omega t}$, $h_{2}(t)=\sin {\omega t}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

Beispiel (b)

${\begin{aligned}G(s)&=\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\infty }e^{4+5t}e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=e^{4}\int _{0}^{\infty }e^{(5-s)t}\,\mathrm {d} t\\&=e^{4}\left.{\frac {1}{5-s}}e^{(5-s)t}\right|_{0}^{\infty }\\&=e^{4}\left({\frac {1}{5-s}}\underbrace {e^{(5-s)\infty }} _{=0}-{\frac {1}{5-s}}\underbrace {e^{(5-s)0}} _{=1}\right)\\&={\begin{cases}{\frac {e^{4}}{s-5}}&s>5\\\infty &s<5\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Beispiel (c)

${\begin{aligned}H(s)&=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\infty }e^{i\omega t}e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\infty }e^{(i\omega -s)t}\,\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {1}{i\omega -s}}e^{(i\omega -s)t}\right|_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{i\omega -s}}\underbrace {e^{(i\omega -s)\infty }} _{=0}-{\frac {1}{i\omega -s}}\underbrace {e^{(i\omega -s)0}} _{=1}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{s-i\omega }}&s>i\omega \\\infty &s<i\omega \\\end{cases}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H_{1}(s)=Realteil({\frac {1}{s-i\omega }})={\frac {s}{s^{2}+w^{2}}}\end{aligned}}$