TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 218

Zu welcher Funktion ist F(s) = $\frac{1}{(1+as)(1+bs)}$ Laplace-Transformierte? Man löse diese Aufgabe sowohl mittels (a) Partialbruchzerlegung als auch mittels (b) Faltung.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Partialbruchzerlegung

a, b herausheben:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(1+as)(1+bs)}& =\frac{1}{ab}\cdot \frac{1}{(\frac{1}{a}+s)(\frac{1}{b}+s)}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(s+\frac{1}{a})(s+\frac{1}{b})}& =\frac{A}{s+\frac{1}{a}}+\frac{B}{s+\frac{1}{b}}\\ 1& =A(s+\frac{1}{b})+B(s+\frac{1}{a})\\ 1& =(A+B)s+\frac{A}{b}+\frac{B}{a}\end{array}$

Koeffizientenvergleich ergibt $A+B=0$ und $\frac{A}{b}+\frac{B}{a}=1$.

Aus $B=-A$ folgt $\frac{A}{b}-\frac{A}{a}=A(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})=1$ und somit $A=\frac{1}{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}=\frac{ab}{a-b}$ sowie $B=\frac{ab}{b-a}$.

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(1+as)(1+bs)}& =\frac{1}{ab}(\frac{A}{s+\frac{1}{a}}+\frac{B}{s+\frac{1}{b}})\\ & =\frac{1}{ab}(\frac{ab}{a-b}\frac{1}{s+\frac{1}{a}}+\frac{ab}{b-a}\frac{1}{s+\frac{1}{b}})\\ & =\frac{1}{a-b}\frac{1}{s+\frac{1}{a}}+\frac{1}{b-a}\frac{1}{s+\frac{1}{b}}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f(t)& ={ℒ}^{-1}\{F(s)\}\\ & ={ℒ}^{-1}\{\frac{1}{a-b}\frac{1}{s+\frac{1}{a}}+\frac{1}{b-a}\frac{1}{s+\frac{1}{b}}\}\\ & =\frac{1}{a-b}{e}^{-\frac{t}{a}}+\frac{1}{b-a}{e}^{-\frac{t}{b}}\end{array}$

Faltung

$f(t)=(g\ast h)(t)$

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=ℒ\{(g\ast h)(t)\}=G(s)H(s)$

$F(s)=\frac{1}{(1+as)(1+bs)}=\frac{1}{1+as}\cdot \frac{1}{1+bs}=G(s)\cdot H(s)$

$G(s)=\frac{1}{1+as}=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{s+\frac{1}{a}}$

$H(s)=\frac{1}{1+bs}=\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{s+\frac{1}{b}}$

$g(t)={ℒ}^{-1}\{G(s)\}=\frac{1}{a}{e}^{-\frac{t}{a}}$

$h(t)={ℒ}^{-1}\{H(s)\}=\frac{1}{b}{e}^{-\frac{t}{b}}$

$\begin{array}{cc}f(t)& =(g\ast h)(t)\\ & ={\int }_0^{t}g(t-\tau )h(\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_0^t\frac{1}{a}{e}^{-\frac{t-\tau }{a}}\cdot \frac{1}{b}{e}^{-\frac{\tau }{b}}\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{ab}{\int }_0^t{e}^{-\frac{t-\tau }{a}}\cdot e^{-\frac{\tau }{b}}\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{ab}{\int }_0^t{e}^{-\frac{t}{a}+\frac{\tau }{a}-\frac{\tau }{b}}\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{ab}{e}^{-\frac{t}{a}}{\int }_0^t{e}^{\frac{\tau }{a}-\frac{\tau }{b}}\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{ab}{e}^{-\frac{t}{a}}{\int }_0^t{e}^{\frac{b-a}{ab}\tau }\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{ab}{e}^{-\frac{t}{a}}\frac{ab}{b-a}{e^{\frac{b-a}{ab}\tau }|}_0^t\\ & =e^{-\frac{t}{a}}\frac{1}{b-a}(e^{\frac{b-a}{ab}t}-\underset{=1}{\underbrace{e^{\frac{b-a}{ab}0}}})\\ & =\frac{1}{b-a}{e}^{\frac{b-a}{ab}t-\frac{t}{a}}-e^{-\frac{t}{a}}\frac{1}{b-a}\\ & =\frac{1}{b-a}{e}^{\frac{b-a-b}{ab}t}+e^{-\frac{t}{a}}\frac{1}{a-b}\\ & =\frac{1}{b-a}{e}^{-\frac{t}{b}}+\frac{1}{a-b}{e}^{-\frac{t}{a}}\end{array}$

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