TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 357

Man betrachte die lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten in drei Variablen

$au_{x}+bu_{y}+cu_{z}=f(x,y,z)\qquad (a,b,c\in \mathbb {R} )$.

Man zeige, dass diese Gleichung mit Hilfe der Substitution

$\;\xi =x$, $\;\eta =bx-ay$, $\;\zeta =cx-az$

allgemein gelöst werden kann. Insbesondere finde man damit die allgemeine Lösung der Gleichung

$\;2u_{x}+3u_{y}+4u_{z}=e^{x+y+z}$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$x=\xi$

$y={\frac {bx-\eta }{a}}$

$z={\frac {cx-\zeta }{b}}$

$U(\xi ,\eta ,\zeta )=u(\xi ,{\frac {bx-\eta }{a}},{\frac {cx-\zeta }{b}})=u(x,y,z)$

$F(\xi ,\eta ,\zeta )=f(\xi ,{\frac {bx-\eta }{a}},{\frac {cx-\zeta }{b}})=f(x,y,z)$

${\begin{aligned}F(\xi ,\eta ,\zeta )&=f(x,y,z)\\&=au_{x}+bu_{y}+cu_{z}\\&=a(U_{\xi }\xi _{x}+U_{\eta }\eta _{x}+U_{\zeta }\zeta _{x})+b(U_{\xi }\xi _{y}+U_{\eta }\eta _{y}+U_{\zeta }\zeta _{y})+c(U_{\xi }\xi _{z}+U_{\eta }\eta _{z}+U_{\zeta }\zeta _{z})\\&=a(1\cdot U_{\xi }+b\cdot U_{\eta }+c\cdot U_{\zeta })+b(0\cdot U_{\xi }-a\cdot U_{\eta }+0\cdot U_{\zeta })+c(0\cdot U_{\xi }+0\cdot U_{\eta }-a\cdot U_{\zeta })\\&=aU_{\xi }+abU_{\eta }+acU_{\zeta }-abU_{\eta }-acU_{\zeta }\\&=aU_{\xi }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}U(\xi ,\eta ,\zeta )&={\frac {1}{a}}\int F(\xi ,\eta ,\zeta )\,\mathrm {d} \xi +G(\eta )+H(\zeta )\\u(x,y,z)&={\frac {1}{a}}\int _{x_{0}}^{x}F(\xi ,bx-ay,cx-az)\,\mathrm {d} \xi +G(bx-ay)+H(cx-az)\end{aligned}}$

In der Gleichung $2u_{x}+3u_{y}+4u_{z}=e^{x+y+z}$ sind $a=2$, $b=3$, $c=4$ und $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$. Daraus folgen $\xi =x$, $\eta =3x-2y$, $\zeta =4x-2z$, $y={\frac {3\xi -\eta }{2}}$ und $z={\frac {4\xi -\zeta }{2}}$.