TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 61

Sei $A=(a_{ij})\in {ℝ}^{m\times n}$ eine $m\times n$-Matrix und $\overrightarrow{x}=(x_i)\in {ℝ}^n$ ein Vektor. Unter der zu einer Vektornorm $\Vert \overrightarrow{x}\Vert$ zugehörigen Matrixnorm oder Operatornorm $\Vert A\Vert$ versteht man

$\Vert A\Vert =\underset{\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}}{sup}\frac{\Vert A\overrightarrow{x}\Vert }{\Vert \overrightarrow{x}\Vert }=\underset{\Vert \overrightarrow{x}\Vert =1}{sup}\Vert A\overrightarrow{x}\Vert$.

Man zeige (mindestens zwei der nachstehenden drei Behauptungen):

• Mit der so genannten Betragssummennorm $\Vert \overrightarrow{x}\Vert =\sum _i|x_i|$ als Vektornorm erhält man die Spaltensummennorm $\Vert A\Vert =\underset{j}{max}\sum _i|a_{ij}|$ als zugehörige Matrixnorm,
• der so genannten Maximumsnorm $\Vert \overrightarrow{x}\Vert =\underset{i}{max}|x_i|$ entspricht die Zeilensummennorm $\Vert A\Vert =\underset{i}{max}\sum _j|a_{ji}|$, und
• zur Euklidischen Norm $\Vert \overrightarrow{x}\Vert =\sqrt{\sum _i{x}_i^2}$ gehört die Spektralnorm $\Vert A\Vert$, d.i. die Wurzel des größten Eigenwerts der Matrix $A^{T}A$. (Anleiung: Die Matrix $A^{T}A$ ist - wie man zeigen kann - stets symmetrisch, positiv semidefinit, alle ihre Eigenwerte sind reell und nicht negativ, und es gibt eine Orthonormalbasis in ${ℝ}^n$ aus lauter Eigenvektoren. Bemerkung: Ist die Matrix $A$ symmetrisch, dann ist die Spektralnorm $\Vert A\Vert$ gleich dem betragsmäßig größten Eigenwert von $A$.)