TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 420

Man bestimme das Interpolationspolynom dritten Grades zu den Interpolationsstellen $(0,180)$, $(2,240)$, $(4,320)$ und $(6,360)$ (a) durch Lagrange-Interpolation sowie (b) unter Anwendung des Newton'schen Interpolationsverfahrens. Wie lauten die Funktionswerte des Interpolationspolynoms an den Stellen $x=1,3,5$?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Lagrange'sches Interpolationspolynom

Lagrange'sches Interpolationspolynom

Lagrange'sches Interpolationspolynom

$p(x)=y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+\dots +y_n{L}_n(x)$

wobei $L_i(x)=\prod _{j≠i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\frac{(x-x_0)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_0)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}$

Stützstellen: $x_0=0,x_1=2,x_2=4,x_3=6$

Berechnen der Lagrange Polynome:
$\begin{array}{cc}{L}_0(x)& =\frac{x-2}{0-2}\frac{x-4}{0-4}\frac{x-6}{0-6}=-\frac{x^3}{48}+\frac{x^2}{4}-\frac{11x}{12}+1\\ L_1(x)& =\frac{x-0}{2-0}\frac{x-4}{2-4}\frac{x-6}{2-6}=\frac{x^3}{16}-\frac{5x^2}{8}+\frac{3x}{2}\\ L_2(x)& =\frac{x-0}{4-0}\frac{x-2}{4-2}\frac{x-6}{4-6}=-\frac{x^3}{16}+\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{4}\\ L_3(x)& =\frac{x-0}{6-0}\frac{x-2}{6-2}\frac{x-4}{6-4}=\frac{x^3}{48}-\frac{x^2}{8}+\frac{x}{6}\end{array}$

Einsetzen in das Lagrange'sche Interpolationspolynom:
$\begin{array}{cc}p(x)& =180(-\frac{x^3}{48}+\frac{x^2}{4}-\frac{11x}{12}+1)+240(\frac{x^3}{16}-\frac{5x^2}{8}+\frac{3x}{2})+320(-\frac{x^3}{16}+\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{4})+360(\frac{x^3}{48}-\frac{x^2}{8}+\frac{x}{6})\\ p(x)& =-\frac{5x^3}{4}+10x^2+15x+180\end{array}$

Lösungen für die geforderten Punkte: $(1,\frac{815}{4}),(3,\frac{1125}{4}),(5,\frac{1395}{4})$

Newton'sche Interpolationspolynom

Newton'sches Interpolationspolynom

Newton'sches Interpolationspolynom

$p(x)=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)(x-x_1)+\dots +b_n(x-x_0)\dots (x-x_{n-1})$

Zuerst müssen die Differenzenquotienten $b_k=f[x_0,\dots ,x_k]$ mittels Differenzenschemas berechnet werden (siehe Buchseite 405).

0	180
2	240	$\frac{240-180}{2-0}=30$
4	320	$\frac{320-240}{4-2}=40$	$\frac{40-30}{4-0}=2.5$
6	360	$\frac{360-320}{6-4}=20$	$\frac{20-40}{6-2}=-5$	$\frac{-5-2.5}{6-0}=-1.25$

Unsere Differenzquotienen sind also $b_0=180,b_1=30,b_2=2.5,b_3=-1.25$

Nun können wir in das Newton'sche Interpolationspolynom einsetzen:
$\begin{array}{cc}p(x)& =180+30(x-0)+2.5(x-0)(x-2)-1.25(x-0)(x-2)(x-4)\\ & =-1.25x^3+10x^2+15x+180\end{array}$

Die Ergebnisse für die geforderten Punkte sind ident zu oben.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Numerische Methoden der Analysis: Interpolation, Integration, Differentialgleichungen 3 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Numerische Methoden der Analysis: Interpolation, Integration, Differentialgleichungen 4 (ähnliches Beispiel)