TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 420

Man bestimme das Interpolationspolynom dritten Grades zu den Interpolationsstellen $(0,180)$, $(2,240)$, $(4,320)$ und $(6,360)$ (a) durch Lagrange-Interpolation sowie (b) unter Anwendung des Newton'schen Interpolationsverfahrens. Wie lauten die Funktionswerte des Interpolationspolynoms an den Stellen $x=1,3,5$?

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Lösungsvorschlag

Lagrange'sches Interpolationspolynom

Lagrange'sches Interpolationspolynom

Lagrange'sches Interpolationspolynom

$p(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+\ldots +y_{n}L_{n}(x)$

wobei $L_{i}(x)=\prod _{j\not =i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {(x-x_{0})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}}$

Stützstellen: $x_{0}=0,x_{1}=2,x_{2}=4,x_{3}=6$

Berechnen der Lagrange Polynome:
${\begin{aligned}L_{0}(x)&={\frac {x-2}{0-2}}{\frac {x-4}{0-4}}{\frac {x-6}{0-6}}=-{\frac {x^{3}}{48}}+{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {11x}{12}}+1\\L_{1}(x)&={\frac {x-0}{2-0}}{\frac {x-4}{2-4}}{\frac {x-6}{2-6}}={\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{2}}{8}}+{\frac {3x}{2}}\\L_{2}(x)&={\frac {x-0}{4-0}}{\frac {x-2}{4-2}}{\frac {x-6}{4-6}}=-{\frac {x^{3}}{16}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {3x}{4}}\\L_{3}(x)&={\frac {x-0}{6-0}}{\frac {x-2}{6-2}}{\frac {x-4}{6-4}}={\frac {x^{3}}{48}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x}{6}}\end{aligned}}$

Einsetzen in das Lagrange'sche Interpolationspolynom:
${\begin{aligned}p(x)&=180(-{\frac {x^{3}}{48}}+{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {11x}{12}}+1)+240({\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{2}}{8}}+{\frac {3x}{2}})+320(-{\frac {x^{3}}{16}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {3x}{4}})+360({\frac {x^{3}}{48}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x}{6}})\\p(x)&=-{\frac {5x^{3}}{4}}+10x^{2}+15x+180\end{aligned}}$

Lösungen für die geforderten Punkte: $(1,{\frac {815}{4}}),(3,{\frac {1125}{4}}),(5,{\frac {1395}{4}})$

Newton'sche Interpolationspolynom

Newton'sches Interpolationspolynom

Newton'sches Interpolationspolynom

$p(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+b_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\ldots +b_{n}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})$

Zuerst müssen die Differenzenquotienten $b_{k}=f[x_{0},\ldots ,x_{k}]$ mittels Differenzenschemas berechnet werden (siehe Buchseite 405).

0	180
2	240	${\frac {240-180}{2-0}}=30$
4	320	${\frac {320-240}{4-2}}=40$	${\frac {40-30}{4-0}}=2.5$
6	360	${\frac {360-320}{6-4}}=20$	${\frac {20-40}{6-2}}=-5$	${\frac {-5-2.5}{6-0}}=-1.25$

Unsere Differenzquotienen sind also $b_{0}=180,b_{1}=30,b_{2}=2.5,b_{3}=-1.25$

Nun können wir in das Newton'sche Interpolationspolynom einsetzen:
${\begin{aligned}p(x)&=180+30(x-0)+2.5(x-0)(x-2)-1.25(x-0)(x-2)(x-4)\\&=-1.25x^{3}+10x^{2}+15x+180\end{aligned}}$

Die Ergebnisse für die geforderten Punkte sind ident zu oben.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Numerische Methoden der Analysis: Interpolation, Integration, Differentialgleichungen 3 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Numerische Methoden der Analysis: Interpolation, Integration, Differentialgleichungen 4 (ähnliches Beispiel)