Man bestimme das Interpolationspolynom dritten Grades zu den Interpolationsstellen
,
,
und
(a) durch Lagrange-Interpolation sowie (b) unter Anwendung des Newton'schen Interpolationsverfahrens. Wie lauten die Funktionswerte des Interpolationspolynoms an den Stellen
?
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
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Angabetext
}}
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}}
- Lagrange'sches Interpolationspolynom
![{\displaystyle p(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+\ldots +y_{n}L_{n}(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3c97c9c822db4bd62d85a1fe2e37e424&mode=mathml)
- wobei
![{\displaystyle L_{i}(x)=\prod _{j\not =i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {(x-x_{0})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=00c9d1c3bbf64f89e8f4e24a51c97493&mode=mathml)
Stützstellen:
Berechnen der Lagrange Polynome:
Einsetzen in das Lagrange'sche Interpolationspolynom:
Lösungen für die geforderten Punkte:
- Newton'sches Interpolationspolynom
![{\displaystyle p(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+b_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\ldots +b_{n}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3e592f21844040f7d907a99e88127d82&mode=mathml)
Zuerst müssen die Differenzenquotienten
mittels Differenzenschemas berechnet werden (siehe Buchseite 405).
0 |
180 |
|
|
|
2 |
240 |
![{\displaystyle {\frac {240-180}{2-0}}=30}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2ef001879c8286e02b3d7400c7e59e80&mode=mathml) |
|
|
4 |
320 |
![{\displaystyle {\frac {320-240}{4-2}}=40}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=22e47cf74abb4e663afed0b957a970ad&mode=mathml) |
![{\displaystyle {\frac {40-30}{4-0}}=2.5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d5fcf900530da78f53a4e9e474fb23c1&mode=mathml) |
|
6 |
360 |
![{\displaystyle {\frac {360-320}{6-4}}=20}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=77a43009c6697da7188ce9e21213abe5&mode=mathml) |
![{\displaystyle {\frac {20-40}{6-2}}=-5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f5330bcc2455d2455c0bae9edbaf69d4&mode=mathml) |
|
Unsere Differenzquotienen sind also
Nun können wir in das Newton'sche Interpolationspolynom einsetzen:
Die Ergebnisse für die geforderten Punkte sind ident zu oben.