TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 24

Man zeige: Ist eine $2\pi$-periodische Funktion $f(t)$ gerade, d.h. $f(-t)=f(t)$, dann sind alle Fourierkoeffizienten $b_n=0(n\ge 1)$. Ist $f(t)$ hingegen ungerade, d.h. $f(-t)=-f(t)$, dann sind alle Koeffizienten $a_n=0(n\ge 0)$.

Hilfreiches

Gerade und ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktion

Eine Funktion

• heißt gerade, falls $f(-x)=f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
• heißt ungerade, falls $f(-x)=-f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

Integrationsgrenzen

Integrationsgrenzen

Regeln für Integrationsgrenzen

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_{-a}^{-b}f(-x)\mathrm{d}x$

Oft nützlich, wenn man es mit ungeraden/geraden Funktionen zu tun hat.

$\cos (-\phi )=\cos (\phi )$

$\sin (-\phi )=-\sin (\phi )$

Lösungsvorschlag

gerade Funktion

$\begin{array}{cc}{b}_n& =\frac{2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi }^0\underset{=f(t)}{\underbrace{f(-t)}}\underset{=-\sin (nt)}{\underbrace{\sin (-nt)}}\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi }^{0}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\\ & =0\end{array}$

ungerade Funktion

$\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi }^0\underset{=-f(t)}{\underbrace{f(-t)}}\underset{=\cos (nt)}{\underbrace{\cos (-nt)}}\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi }^{0}f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\\ & =0\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS05/Harmonische Analyse - Fourier-Reihen 9 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 55 (ähnliches Beispiel)