TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 218

Zu welcher Funktion ist F(s) = ${\frac {1}{(1+as)(1+bs)}}$ Laplace-Transformierte? Man löse diese Aufgabe sowohl mittels (a) Partialbruchzerlegung als auch mittels (b) Faltung.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partialbruchzerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a, b herausheben:

${\begin{aligned}{\frac {1}{(1+as)(1+bs)}}&={\frac {1}{ab}}\cdot {\frac {1}{({\frac {1}{a}}+s)({\frac {1}{b}}+s)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{(s+{\frac {1}{a}})(s+{\frac {1}{b}})}}&={\frac {A}{s+{\frac {1}{a}}}}+{\frac {B}{s+{\frac {1}{b}}}}\\1&=A\left(s+{\tfrac {1}{b}}\right)+B\left(s+{\tfrac {1}{a}}\right)\\1&=(A+B)s+{\frac {A}{b}}+{\frac {B}{a}}\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich ergibt $A+B=0$ und ${\frac {A}{b}}+{\frac {B}{a}}=1$ .

Aus $B=-A$ folgt ${\frac {A}{b}}-{\frac {A}{a}}=A\left({\frac {1}{b}}-{\frac {1}{a}}\right)=1$ und somit $A={\frac {1}{{\frac {1}{b}}-{\frac {1}{a}}}}={\frac {ab}{a-b}}$ sowie $B={\frac {ab}{b-a}}$ .

${\begin{aligned}{\frac {1}{(1+as)(1+bs)}}&={\frac {1}{ab}}\left({\frac {A}{s+{\frac {1}{a}}}}+{\frac {B}{s+{\frac {1}{b}}}}\right)\\&={\frac {1}{ab}}\left({\frac {ab}{a-b}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{a}}}}+{\frac {ab}{b-a}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{b}}}}\right)\\&={\frac {1}{a-b}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{a}}}}+{\frac {1}{b-a}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{b}}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}\\&={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{a-b}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{a}}}}+{\frac {1}{b-a}}{\frac {1}{s+{\frac {1}{b}}}}\right\}\\&={\frac {1}{a-b}}e^{-{\frac {t}{a}}}+{\frac {1}{b-a}}e^{-{\frac {t}{b}}}\end{aligned}}$

Faltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f(t)=(g*h)(t)$

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{(g*h)(t)\right\}=G(s)H(s)$

$F(s)={\frac {1}{(1+as)(1+bs)}}={\frac {1}{1+as}}\cdot {\frac {1}{1+bs}}=G(s)\cdot H(s)$

$G(s)={\frac {1}{1+as}}={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{s+{\frac {1}{a}}}}$

$H(s)={\frac {1}{1+bs}}={\frac {1}{b}}\cdot {\frac {1}{s+{\frac {1}{b}}}}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{G(s)\right\}={\frac {1}{a}}e^{-{\frac {t}{a}}}$

$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{H(s)\right\}={\frac {1}{b}}e^{-{\frac {t}{b}}}$

$\begin{aligned} f (t) & = (g * h) (t) \\ = \int_{0}^{t} g (t - τ) h (τ) d τ \\ = \int_{0}^{t} \frac{1}{a} e^{- \frac{t - τ}{a}} \cdot \frac{1}{b} e^{- \frac{τ}{b}} d τ \\ = \frac{1}{a b} \int_{0}^{t} e^{- \frac{t - τ}{a}} \cdot e^{- \frac{τ}{b}} d τ \\ = \frac{1}{a b} \int_{0}^{t} e^{- \frac{t}{a} + \frac{τ}{a} - \frac{τ}{b}} d τ \\ = \frac{1}{a b} e^{- \frac{t}{a}} \int_{0}^{t} e^{\frac{τ}{a} - \frac{τ}{b}} d τ \\ = \frac{1}{a b} e^{- \frac{t}{a}} \int_{0}^{t} e^{\frac{b - a}{a b} τ} d τ \\ = \frac{1}{a b} e^{- \frac{t}{a}} \frac{a b}{b - a} {e^{\frac{b - a}{a b} τ} |}_{0}^{t} \\ = e^{} \end{aligned}$