TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 42

Man bestimme die Lösung des folgenden linearen Anfangswertproblems mittels Laplace-Transformation:

$y'''+y''-5y'+3y=6\sinh(2x)$, $y(0)=y'(0)=0$, $y''(0)=4$.

Hilfreiches

$L\left\{\sinh(\omega t)\right\}={\frac {\omega }{s^{2}-\omega ^{2}}}$

Lösungsvorschlag

${\mathcal {L}}\left\{y'''\right\}=s^{3}Y(s)-s^{2}\underbrace {y(0)} _{=0}-s\underbrace {y'(0)} _{=0}-\underbrace {y''(0)} _{=4}=s^{3}Y(s)-4$

${\mathcal {L}}\left\{y''\right\}=s^{2}Y(s)-s\underbrace {y(0)} _{=0}-\underbrace {y'(0)} _{=0}=s^{2}Y(s)$

${\mathcal {L}}\left\{y'\right\}=sY(s)-\underbrace {y(0)} _{=0}=sY(s)$

${\mathcal {L}}\left\{y\right\}=Y(s)$

${\mathcal {L}}\left\{6\sinh(2x)\right\}=6{\frac {2}{s^{2}-2^{2}}}={\frac {12}{s^{2}-4}}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B+C+D=0$, $-A+3C+4D=4$, $-4A-7B-4C-D=0$ und $4A+6B-12C-6D=-4$. Aufgelöst ergibt das $A={\frac {2}{5}}$, $B=-{\frac {1}{3}}$, $C=-{\frac {2}{3}}$ und $D={\frac {3}{5}}$