TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 366

Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung

$y{u}_x-x{u}_y+xyu=0$,

welche die Parabel $u=y^2$ in der $(y,u)$-Ebene enthält.

Lösungsvorschlag

$a(x,y)=y$

$b(x,y)=-x$

$c(x,y)=xy$

$d(x,y)=0$

Die Rumpf-Differentalgleichung lautet:

$y{u}_x-x{u}_y=0$

Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem

$\dot{x}=y$ und $\dot{y}=-x$

welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}$

Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung

$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+{\tilde{c}}_1$ bzw. $c_1=x^2+y^2$

Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:

${\phi }_1(x,y)=x^2+y^2$

Führt man nun die Substitution $\xi (x,y)={\phi }_1(x,y)=x^2+y^2$ und das frei gewählte $\eta (x,y)=x$ ein, so erhält man für die Funktion $U(\xi ,\eta )=u(x,y)$ die gewöhnliche Differenzialgleichung

$\begin{array}{cc}(a(x,y){\eta }_x+b(x,y){\eta }_y)U_{\eta }+c(x,y)U+d(x,y)& =0\\ (y{\eta }_x-x{\eta }_y)U_{\eta }+xyU+0& =0\\ (\frac{{\eta }_x}{x}-\frac{{\eta }_y}{y})U_{\eta }+U& =0\\ (\frac{1}{x}-\frac{0}{y})U_{\eta }+U& =0\\ \frac{U_{\eta }}{\eta }+U& =0\\ U_{\eta }+\eta U& =0\end{array}$

Diese Differenzialgleichung liefert:

$\begin{array}{cc}{U}_{\eta }+\eta U& =0\\ \frac{U_{\eta }}{U}& =-\eta \\ \ln U& =-\frac{{\eta }^2}{2}+C\\ U(\xi ,\eta )& =e^{-\frac{{\eta }^2}{2}}\cdot C(\xi )\end{array}$

Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung:

$u(x,y)=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot C(x^2+y^2)$

Mit der Anfangsbedingun $u(0,y)=y^2$ folgt dann mittels $C(z)=z$ als spezielle Lösung

$u(x,y)=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot (x^2+y^2)$