TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 391

Mit Hilfe der Näherung

${\frac {\Delta f(x)}{f(x)}}={\frac {xf'(x)}{f(x)}}{\frac {\Delta x}{x}}$

für den relativen Fehler der Funktion $f(x)$ finde man Fehlerschätzungen für die folgenden Rechenoperationen $f(x)={\sqrt {x}}$, $f(x)=e^{x}$ und $f(x)=\sin x$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

$Ergebnis{\ddot {a}}nderung=Konditionszahl\kappa *Eingangs{\ddot {a}}nderung$
$\kappa _{rel}=\left|{\frac {f'(x)}{f(x)}}x\right|$

Man muss also nur K bestimmen um zu erkennen wie sich eine Eingangsänderung auf das Ergebnis auswirkt.

Lösungsvorschlag

1. $f(x)={\sqrt {x}}$

   $\kappa _{rel}=x\cdot {\frac {\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x}}}}{\sqrt {x}}}={\frac {1}{2}}$

2. $f(x)=e^{x}$

   $\kappa _{rel}=x\cdot {\frac {e^{x}}{e^{x}}}=x$

3. $f(x)=\sin x$

   $\kappa _{rel}=x\cdot {\frac {cosx}{sinx}}=x\cdot cotx$

"Wenn K kleiner als 1 ist, ist die Gleichung gut konditioniert. Eine kleine Änderung am Eingang ergibt dann nur eine kleine Änderung am Ergebnis." - Zitat Tidon - Informatik Forum

Referenzen

1. Konditionszahl (Wikipedia)
2. Thread im Informatik-Forum