TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 61

Sei $A=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ eine $m\times n$-Matrix und ${\vec {x}}=(x_{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor. Unter der zu einer Vektornorm $\|{\vec {x}}\|$ zugehörigen Matrixnorm oder Operatornorm $\|A\|$ versteht man

$\|A\|=\sup _{{\vec {x}}\neq {\vec {0}}}{\frac {\|A{\vec {x}}\|}{\|{\vec {x}}\|}}=\sup _{\|{\vec {x}}\|=1}\|A{\vec {x}}\|$.

Man zeige (mindestens zwei der nachstehenden drei Behauptungen):

• Mit der so genannten Betragssummennorm $\|{\vec {x}}\|=\sum _{i}|x_{i}|$ als Vektornorm erhält man die Spaltensummennorm $\|A\|=\max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|$ als zugehörige Matrixnorm,
• der so genannten Maximumsnorm $\|{\vec {x}}\|=\max _{i}|x_{i}|$ entspricht die Zeilensummennorm $\|A\|=\max _{i}\sum _{j}|a_{ji}|$, und
• zur Euklidischen Norm $\|{\vec {x}}\|={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}$ gehört die Spektralnorm $\|A\|$, d.i. die Wurzel des größten Eigenwerts der Matrix $A^{T}A$. (Anleiung: Die Matrix $A^{T}A$ ist - wie man zeigen kann - stets symmetrisch, positiv semidefinit, alle ihre Eigenwerte sind reell und nicht negativ, und es gibt eine Orthonormalbasis in $\mathbb {R} ^{n}$ aus lauter Eigenvektoren. Bemerkung: Ist die Matrix $A$ symmetrisch, dann ist die Spektralnorm $\|A\|$ gleich dem betragsmäßig größten Eigenwert von $A$.)