TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 419

Der Gebrauchtwert einer Maschine betrage nach zwei Jahren noch 50%, nach vier Jahren noch 25% des Anschaffungspreises. Man gebe ein Polynom $p(t)$ zweiten Grades als Funktion der Nutzungsdauer $t$ an, das mit diesen empirischen Daten übereinstimmt und für $t=0$ den Wert 100 (Neuwert mit 100%) annimmt. Ferner vergleiche man die Erfahrungswerte von 70% Gebrauchtwert nach einem Jahr und 35% nach drei Jahren mit den entsprechenden p-Werten.

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Lösungsvorschlag

Lagrange'sches Interpolationspolynom

Lagrange'sches Interpolationspolynom

$p(x)=y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+\dots +y_n{L}_n(x)$

wobei $L_i(x)=\prod _{j≠i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\frac{(x-x_0)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_0)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}$

nach 2 Jahren: $p(2)=50$

nach 4 Jahren: $p(4)=25$

Neuwert: $p(0)=100$

Punkte zwischen denen interpoliert wird: $(0,100),(2,50),(4,25)$

Berechnung der Lagrange'schen Polynome:
$\begin{array}{cc}{L}_0(x)& =\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\ & =\frac{(x-2)(x-4)}{(0-2)(0-4)}\\ & =\frac{x^2-2x-4x+8}{(-2)(-4)}\\ & =\frac{x^2-6x+8}{8}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{L}_1(x)& =\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\ & =\frac{(x-0)(x-4)}{(2-0)(2-4)}\\ & =\frac{x^2-4x}{(2)(-2)}\\ & =\frac{4x-x^2}{4}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{L}_2(x)& =\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\\ & =\frac{(x-0)(x-2)}{(4-0)(4-2)}\\ & =\frac{x^2-2x}{(4)(2)}\\ & =\frac{x^2-2x}{8}\end{array}$

Einsetzen in das Lagrange'sche Interpolationspolynom:
$\begin{array}{cc}p(x)& =y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+y_2{L}_2(x)\\ & =100\cdot \frac{x^2-6x+8}{8}+50\cdot \frac{4x-x^2}{4}+25\cdot \frac{x^2-2x}{8}\\ & =\frac{(100-100+25)\cdot x^2+(-600+400-50)\cdot x+800}{8}\\ & =\frac{25x^2-250x+800}{8}\\ & =\frac{25}{8}{x}^2-\frac{125}{4}x+100\end{array}$

Nach einem Jahr beträgt der Gebrauchtwert der Maschine laut unserer interpolierten Funktion $p(1)=71.7875$. Das ist sehr nahe an dem Erfahrungswert von 70%.

Nach 3 Jahren beträgt der Gebrauchtwert der Maschine laut unserer interpolierten Funktion $p(3)=34.375$. Das ist ebenfalls sehr nahe an dem Erfahrungswert von 35%.

Lösung aus Karigl 2004

• Lösung aus 2004

Quelle

Karigl Beispielsammlung WS04 Beispiel 58