TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 8

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die Herstellung eines Produkts P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion

beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch

gegeben.

Man maximiere den Gewinn für die Preise , , unter Berücksichtigung der Produktionsfunktion als Nebenbedingung (a) mittels Reduktionsmethode und (b) mit Hilfe der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren. Ferner ermittle man die im Gewinnmaximum benötigten Faktormengen , , die Produktmenge und den Unternehmergewinn .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reduktionsmethode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rückführung auf Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung durch ausrechnen hinreichend vieler Variablen aus den Nebenbedingungen und einsetzen in die Zielfunktion.

Wir können die Nebenbedingung einfach in die Zielfunktion einsetzen weil sowohl als auch in der Zielfunktion vorkommen:



Nach dem einsetzen der Preise:






Der maximal Gewinn ist also .

Lagrange'sche Multiplikatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst wird die Nebenbedingung umgeformt, sodass diese die Form NB = 0 hat.

Nun wird die Nebenbedingung mit dem Lagrange'schem Multiplikator in die Zielfunktion eingesetzt:

Nun wird der Gradient der Zielfunktion Null gesetzt um ein Gleichungssystem zu bekommen:


in und einsetzen:


und in einsetzen:

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]