TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 141

Man untersuche, ob das Kurvenintegral

$\int \limits _{c}\left(2xy+\arctan y+\cos x\right)\,\mathrm {d} x+\left(x^{2}+{\frac {x}{1+y^{2}}}\right)\,\mathrm {d} y$

wegunabhängig ist und bestimme gegebenenfalls eine Stammfunktion. Welchen Wert hat das Integral über einen Weg $c$ von $(0,0)$ nach $(\pi ,1)$?

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

$f_{1}=2xy+\arctan y+\cos x$

$f_{2}=x^{2}+{\frac {x}{1+y^{2}}}$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2x+{\frac {1}{1+y^{2}}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$

I.B. erfüllt.

Es muss nicht vergessen werden zu zeigen das ein einfaches zusammenhängendes Gebiet vorliegt, indem das Vektorfeld stetig differenzierbar ist.

In unserem Fall ist es leicht zu zeigen(und zu sehen), dass das Vektorfeld in ganz $\mathbb {R}$ stetig differnzierbar ist.

$f(x,y)={\begin{pmatrix}2xy+\arctan y+\cos x\\x^{2}+{\frac {x}{1+y^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}F(x,y)&=\int 2xy+\arctan y+\cos x\,\mathrm {d} x\\&=x^{2}y+x\cdot \arctan y+\sin x+c(y)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x^{2}+{\frac {x}{1+y^{2}}}+c'(y)&=x^{2}+{\frac {x}{1+y^{2}}}\\c'(y)&=0\\c(y)&=c\,(c\in \mathbb {R} )\end{aligned}}$

$F(x,y)=x^{2}y+x\cdot \arctan y+\sin x+c$

${\begin{aligned}F(\pi ,1)-F(0,0)&=\pi ^{2}\cdot 1+\pi \cdot \arctan 1+\sin \pi -0^{2}\cdot 0-0\cdot \arctan 0-\sin 0\\&=\pi ^{2}+\pi \cdot {\frac {\pi }{4}}\\&={\frac {5}{4}}\pi ^{2}\end{aligned}}$