TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 24

Man zeige: Ist eine $2\pi$ -periodische Funktion $f(t)$ gerade, d.h. $f(-t)=f(t)$ , dann sind alle Fourierkoeffizienten $b_{n}=0\,(n\geq 1)$ . Ist $f(t)$ hingegen ungerade, d.h. $f(-t)=-f(t)$ , dann sind alle Koeffizienten $a_{n}=0\,(n\geq 0)$ .

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade und ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion

heißt gerade, falls $f(-x)=f(x)$ . Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
heißt ungerade, falls $f(-x)=-f(x)$ . Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

Integrationsgrenzen

Integrationsgrenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regeln für Integrationsgrenzen

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{-a}^{-b}f(-x)\,\mathrm {d} x

Oft nützlich, wenn man es mit ungeraden/geraden Funktionen zu tun hat.

\cos(-\varphi )=\cos(\varphi )

\sin(-\varphi )=-\sin(\varphi )

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

gerade Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\begin{aligned} b_{n} & = \frac{2}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) \sin (n t) d t \\ = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) \sin (n t) d t \\ = \frac{1}{π} \int_{- π}^{0} f (t) \sin (n t) d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) \sin (n t) d t \\ = - \frac{1}{π} \int_{π}^{0} \underset{= f (t)}{\underset{⏟}{f (- t)}} \underset{= - \sin (n t)}{\underset{⏟}{\sin (- n t)}} d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) \sin (n t) d t \\ = \frac{1}{π} \int_{π}^{0} f (t) \sin (n t) d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \end{aligned}$

ungerade Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\begin{aligned} a_{n} & = \frac{2}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (t) \cos (n t) d t \\ = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) \cos (n t) d t \\ = \frac{1}{π} \int_{- π}^{0} f (t) \cos (n t) d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) \cos (n t) d t \\ = - \frac{1}{π} \int_{π}^{0} \underset{= - f (t)}{\underset{⏟}{f (- t)}} \underset{= \cos (n t)}{\underset{⏟}{\cos (- n t)}} d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) \cos (n t) d t \\ = \frac{1}{π} \int_{π}^{0} f (t) \cos (n t) d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \end{aligned}$

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS05/Harmonische Analyse - Fourier-Reihen 9 (ähnliches Beispiel)
TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 55 (ähnliches Beispiel)