TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 214

Man bestimme die Laplace-Transformierten der folgenden Funktionen:

(a) $f(t)=1+2t+3t^2$

(b) $g(t)=e^{4+5t}$

(c) $h(t)=e^{i\omega t}$, $h_1(t)=\cos \omega t$, $h_2(t)=\sin \omega t$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}F(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1e^{-st}\mathrm{d}t+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2t{e}^{-st}\mathrm{d}t+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}3t^2{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={-\frac{1}{s}{e}^{-st}|}_0^{\mathrm{\infty }}+{2(-\frac{1}{s^2}-\frac{t}{s})e^{-st}|}_0^{\mathrm{\infty }}+{3(-\frac{2}{s^3}-\frac{2t}{s^2}-\frac{t^2}{s})e^{-st}|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =(-\frac{1}{s}-\frac{2}{s^2}-\frac{\mathrm{\infty }}{s}-\frac{6}{s^3}-\frac{6\mathrm{\infty }}{s^2}-\frac{{\mathrm{\infty }}^2}{s})\underset{=0}{\underbrace{e^{-s\mathrm{\infty }}}}-(-\frac{1}{s}-\frac{2}{s^2}-\frac{0}{s}-\frac{6}{s^3}-\frac{6\cdot 0}{s^2})\underset{=1}{\underbrace{e^{-s0}}}\\ & =\frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{6}{s^3}\end{array}$

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}G(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{4+5t}{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & =e^4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(5-s)t}\mathrm{d}t\\ & =e^4{\frac{1}{5-s}{e}^{(5-s)t}|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =e^4(\frac{1}{5-s}\underset{=0}{\underbrace{e^{(5-s)\mathrm{\infty }}}}-\frac{1}{5-s}\underset{=1}{\underbrace{e^{(5-s)0}}})\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{e^4}{s-5}& s>5\\ \mathrm{\infty }& s<5\end{array}\end{array}$

Beispiel (c)

$\begin{array}{cc}H(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(i\omega -s)t}\mathrm{d}t\\ & ={\frac{1}{i\omega -s}{e}^{(i\omega -s)t}|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{i\omega -s}\underset{=0}{\underbrace{e^{(i\omega -s)\mathrm{\infty }}}}-\frac{1}{i\omega -s}\underset{=1}{\underbrace{e^{(i\omega -s)0}}}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{s-i\omega }& s>i\omega \\ \mathrm{\infty }& s<i\omega \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{H}_1(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{h}_1(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (\omega t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}{e}^{-st}+e^{-i\omega t}{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(i\omega -s)t}+e^{(-i\omega -s)t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{(\frac{1}{i\omega -s}{e}^{(i\omega -s)t}+\frac{1}{-i\omega -s}{e}^{(-i\omega -s)t})|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{2}(-\frac{1}{i\omega -s}-\frac{1}{-i\omega -s})\\ & =\frac{1}{2}(\frac{1}{i\omega +s}-\frac{1}{i\omega -s})\\ & =\frac{i\omega -s-i\omega -s}{2(i\omega +s)(i\omega -s)}\\ & =\frac{-2s}{2(-{\omega }^2-s^2)}\\ & =\frac{s}{{\omega }^2+s^2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{H}_2(s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{h}_2(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin (\omega t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2i}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}{e}^{-st}-e^{-i\omega t}{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2i}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(i\omega -s)t}-e^{(-i\omega -s)t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2i}{(\frac{1}{i\omega -s}{e}^{(i\omega -s)t}-\frac{1}{-i\omega -s}{e}^{(-i\omega -s)t})|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{2i}{(\frac{1}{i\omega -s}{e}^{(i\omega -s)t}+\frac{1}{i\omega +s}{e}^{(-i\omega -s)t})|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{2i}(-\frac{1}{i\omega -s}-\frac{1}{i\omega +s})\\ & =\frac{1}{2i}(\frac{1}{s-i\omega }-\frac{1}{s+i\omega })\\ & =\frac{s+i\omega -s+i\omega }{2i(s-i\omega )(s+i\omega )}\\ & =\frac{2i\omega }{2(s^2+{\omega }^2)}\\ & =\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\end{array}$

Zu h1(t) und h2(t): h(t) = h1(t)+i*(h2(t)) demnach:

$\begin{array}{c}{H}_1(s)=Realteil(\frac{1}{s-i\omega })=\frac{s}{s^2+w^2}\end{array}$