TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 8

Die Herstellung eines Produkts P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion

$y=f(x_{1},x_{2})=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}$

beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch

$G(x_{1},x_{2},y)=yp_{0}-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}$

gegeben.

Man maximiere den Gewinn für die Preise $p_{0}=2$, $p_{1}=1$, $p_{2}=8$ unter Berücksichtigung der Produktionsfunktion als Nebenbedingung (a) mittels Reduktionsmethode und (b) mit Hilfe der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren. Ferner ermittle man die im Gewinnmaximum benötigten Faktormengen $x_{1}$, $x_{2}$, die Produktmenge $y$ und den Unternehmergewinn $G$.

Lösungsvorschlag

Reduktionsmethode

Rückführung auf Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung durch ausrechnen hinreichend vieler Variablen aus den Nebenbedingungen und einsetzen in die Zielfunktion.

Wir können die Nebenbedingung einfach in die Zielfunktion einsetzen weil sowohl $x_{1}$ als auch $x_{2}$ in der Zielfunktion vorkommen:

$G(x_{1},x_{2})=(5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}})p_{0}-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}=5p_{0}-{\frac {p_{0}}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {p_{0}}{\sqrt {x_{2}}}}-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}$

Nach dem einsetzen der Preise: $G(x_{1},x_{2})=10-{\frac {2}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {2}{\sqrt {x_{2}}}}-x_{1}-8x_{2}$

$\operatorname {grad} (G(x_{1},x_{2}))={\begin{pmatrix}G_{x_{1}}\\G_{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\cdot -{\frac {1}{2}}(x_{1})^{-{\frac {3}{2}}}\cdot 1-1\\-2\cdot -{\frac {1}{2}}(x_{2})^{-{\frac {3}{2}}}\cdot 1-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{3}}}}-1\\{\frac {1}{\sqrt {x_{2}^{3}}}}-8\end{pmatrix}}=0$

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{3}}}}-1&=0\\{\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{3}}}}&=1\\1&={\sqrt {x_{1}^{3}}}\\1&=x_{1}^{3}\\x_{1}&={\sqrt[{3}]{1}}\\x_{1}&=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {x_{2}^{3}}}}-8&=0\\{\frac {1}{\sqrt {x_{2}^{3}}}}&=8\\{\frac {1}{8}}&={\sqrt {x_{2}^{3}}}\\{\frac {1}{8^{2}}}&=x_{2}^{3}\\x_{2}&={\frac {1}{\sqrt[{3}]{8^{2}}}}\\x_{2}&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}$

Der maximal Gewinn ist also $G(x_{1},x_{2})=G(1,{\frac {1}{4}})=10-2-4-1-2=1$.

Lagrange'sche Multiplikatoren

$G(x_{1},x_{2},y)=2y-x_{1}-8x_{2}$

Zuerst wird die Nebenbedingung umgeformt, sodass diese die Form NB = 0 hat.
${\begin{aligned}y=f(x_{1},x_{2})&=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}\\0&=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}-y\end{aligned}}$

Nun wird die Nebenbedingung mit dem Lagrange'schem Multiplikator in die Zielfunktion eingesetzt:
${\begin{aligned}\Phi (x_{1},x_{2},y,\lambda )&=2y-x_{1}-8x_{2}-\lambda \left(5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}-y\right)\\&=2y-x_{1}-8x_{2}-5\lambda +{\frac {\lambda }{\sqrt {x_{1}}}}+{\frac {\lambda }{\sqrt {x_{2}}}}+\lambda y\\\end{aligned}}$

Nun wird der Gradient der Zielfunktion Null gesetzt um ein Gleichungssystem zu bekommen:
$\Phi _{x_{1}}=-1-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\lambda }{\sqrt {x_{1}^{3}}}}=0\Rightarrow \lambda =-2{\sqrt {x_{1}^{3}}}$

$\Phi _{x_{2}}=-8-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\lambda }{\sqrt {x_{2}^{3}}}}=0\Rightarrow \lambda =-16{\sqrt {x_{2}^{3}}}$

$\Phi _{y}=2+\lambda =0\Rightarrow \lambda =-2$

$\Phi _{\lambda }=-5+{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}+y=0$

$\lambda =-2$ in $\Phi _{x_{1}}$ und $\Phi _{x_{2}}$ einsetzen:

$\lambda =2{\sqrt {x_{1}^{3}}}\Rightarrow 2=2{\sqrt {x_{1}^{3}}}\Rightarrow x_{1}=1$

$\lambda =16{\sqrt {x_{2}^{3}}}\Rightarrow 2=16{\sqrt {x_{2}^{3}}}\Rightarrow x_{2}={\frac {1}{4}}$

$x_{1}$ und $x_{2}$ in $\Phi _{\lambda }$ einsetzen:

$-5+{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}+y\Rightarrow y=5-2-1\Rightarrow y=2$

$G(1,{\frac {1}{4}},2)=2\cdot 2-1-8\cdot {\frac {1}{4}}=1$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 20 (ähnliches Beispiel)