TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 96

Man berechne das Doppelintegral

${\int }_{y=0}^{y=1}{\int }_{x=0}^{x=\sqrt{1-y}}{x}^2\sqrt{1-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Welches Bereichsintegral wird dadurch gegeben? Man berechne das Integral auch bei vertauschter Integrationsreihenfolge.

Lösungsvorschlag

In der gegebenen Integrationsreihenfolge:

$\begin{array}{cc}& {\int }_{y=0}^{y=1}\left({\int }_{x=0}^{x=\sqrt{1-y}}{x}^2\sqrt{1-y}\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1\left({\frac{x^3\sqrt{1-y}}{3}|}_{x=0}^{x=\sqrt{1-y}}\right)\mathrm{d}y\\ & =-{\int }_0^1\left(\frac{(\sqrt{1-y}{)}^4}{3}\right)\mathrm{d}y\\ & =-\frac{1}{3}{\int }_0^1(\sqrt{1-y}{)}^2\mathrm{d}y\\ & =-\frac{1}{3}{\left(\frac{(\sqrt{1-y}{)}^3}{3}\right|}_{y=0}^{y=1})\\ & =-\frac{1}{3}\ast (-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}\end{array}$

Bei vertauschten Integrationsreihenfolge:

$x=\sqrt{1-y}\Rightarrow x^2=1-y\Rightarrow -y=x^2-1\Rightarrow y=1-x^2$

$1=1-x^2\Rightarrow x=0$

$0=1-x^2\Rightarrow x=1$

$\begin{array}{cc}& {\int }_{x=0}^{x=1}\left({\int }_{y=0}^{y=1-x^2}{x}^2\sqrt{1-y}\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x=0}^{x=1}({\int }_{y=0}^{y=1-x^2}{x}^2(1-y{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x=0}^{x=1}\left({x^2\frac{2(1-y{)}^{\frac{2}{3}}}{3}|}_{x=0}^{x=1-x^2}\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{3}{\int }_{x=0}^{x=1}(x^2(1-1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}-x^2(1-0{)}^{\frac{3}{2}})\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{3}{\int }_{x=0}^{x=1}(x^2{x}^3-x^2)\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{3}\left({\frac{x^6}{6}-\frac{x^3}{3}|}_{y=0}^{y=1}\right)\\ & =\frac{2}{3}(-\frac{1}{6}+\frac{1}{3})\\ & =\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\\ \end{array}$