TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS16/Beispiel 397

Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion $F(x)=x^2-1$ im Intervall $[0,3]$, indem Sie jeweils 3 Schritte der angegebenen Verfahrens durchfuhren, und vergleichen Sie die Ergebnisse.

(a) Bisektion, (b) Regula falsi, (c) Newtonsches Naeherungsverfahren (Startwert Intervallende).

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(a) Bisektion

$y_n=\frac{a_u+b_v}{2}$

Startwerte so dass $f(a)<0$ und $f(b)>0$, also $f(0)=-1,f(3)=8$.

$y_1=\frac{-1+8}{2}=3.5>0⟹a_2=a_1,b_2=3.5$
<br $y_2=\frac{-1+3.5}{2}=1.25>0⟹a_3=a_1,b_3=1.25$

$y_3=\frac{-1+1.25}{2}=1.125$
Nullstelle auf 1.125 approximiert.

(b) Regula Falsi

$x=a-f(a)\ast \frac{b-a}{f(b)-f(a)}$
$f(x)<0⟹a=x,f(x)=0⟹finish,f(x)>0⟹b=x$

1: $x=0+1\ast \frac{3-0}{8+1}=1/3,f(1/3)=-0.889<0⟹a=x$

2: $x=1/3+0.889\ast \frac{3-1/3}{8+0.889}=0.5998,f(0.5998)=-0.64<0⟹a=x$

3: $x=0.5998+0.6403\ast \frac{3-0.5998}{8+0.6403}=0.776$

(c) Newton

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$
$f^{\prime }(x)=2x$
$x_1=3-\frac{8}{6}=1.66$
$x_2=1.66-\frac{1.7780}{3.3340}=1.1264$
$x_3=1.1264-\frac{0.2689}{2.2528}=1.0070$