TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS16/Beispiel 397

Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion $F(x)=x^{2}-1$ im Intervall $[0,3]$, indem Sie jeweils 3 Schritte der angegebenen Verfahrens durchfuhren, und vergleichen Sie die Ergebnisse.

(a) Bisektion, (b) Regula falsi, (c) Newtonsches Naeherungsverfahren (Startwert Intervallende).

---

(a) Bisektion

$y_{n}={\frac {a_{u}+b_{v}}{2}}$

Startwerte so dass $f(a)<0$ und $f(b)>0$, also $f(0)=-1,f(3)=8$.

$y_{1}={\frac {-1+8}{2}}=3.5>0\implies a_{2}=a_{1},b_{2}=3.5$
<br $y_{2}={\frac {-1+3.5}{2}}=1.25>0\implies a_{3}=a_{1},b_{3}=1.25$

$y_{3}={\frac {-1+1.25}{2}}=1.125$
Nullstelle auf 1.125 approximiert.

(b) Regula Falsi

$x=a-f(a)*{\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}$
$f(x)<0\implies a=x,f(x)=0\implies finish,f(x)>0\implies b=x$

1: $x=0+1*{\frac {3-0}{8+1}}=1/3,f(1/3)=-0.889<0\implies a=x$

2: $x=1/3+0.889*{\frac {3-1/3}{8+0.889}}=0.5998,f(0.5998)=-0.64<0\implies a=x$

3: $x=0.5998+0.6403*{\frac {3-0.5998}{8+0.6403}}=0.776$

(c) Newton

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$
$f'(x)=2x$
$x_{1}=3-{\frac {8}{6}}=1.66$
$x_{2}=1.66-{\frac {1.7780}{3.3340}}=1.1264$
$x_{3}=1.1264-{\frac {0.2689}{2.2528}}=1.0070$