TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 40

Man bestimme die Lösung des folgenden linearen Anfangswertproblems mittels Ansatzmethode:

$y'''+y''-5y'+3y=6sinh(2x),y(0)=y'(0)=0,y''(0)=4$

Hilfreiches

$\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

Lösung

von - -Drachentöter2017 (Diskussion) 10:20, 9. Mai 2017 (CEST)

Homogener Teil

• Gleichung aufstellen:

$\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-5\lambda +3=0$

• Faktorisieren:

$(\lambda -1)^{2}(\lambda +3)=0$

• Lösungen:

1. $\lambda _{1}+3=0\rightarrow \lambda _{1}=-3$

2. $(\lambda -1)^{2}=0\rightarrow \lambda ^{2}-2\lambda +1=0\rightarrow \lambda _{2},_{3}=1$

• Homogene Lösung aufstellen (Resonanzfall beachten!)

$y_{h}=c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{x}+c_{3}xe^{x}$

Inhomogener Teil

• Ansatz aufstellen

$6sinh(2x)={\frac {6}{2}}\left(e^{2x}-e^{-2x}\right)=3e^{2x}-3e^{-2x}$

• Ableitungen berechnen:

$y_{p}=\alpha e^{2x}+\beta e^{-2x}$

$y'_{p}=2\alpha e^{2x}-2\beta e^{-2x}$

$y''_{p}=4\alpha e^{2x}+4\beta e^{-2x}$

$y'''_{p}=8\alpha e^{2x}-8\beta e^{-2x}$

• Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung:

$8\alpha e^{2x}-8\beta e^{-2x}+4\alpha e^{2x}+4\beta e^{-2x}-10\alpha e^{2x}+10\beta e^{-2x}+3\alpha e^{2x}+3\beta e^{-2x}=3e^{2x}-3e^{-2x}$

• Koeffizientenvergleich:

für $e^{2x}$: $8\alpha +4\alpha -10\alpha +3\alpha =3$

$5\alpha =3\rightarrow \alpha ={\frac {3}{5}}$

für $e^{-2x}$: $-8\beta +4\beta +10\beta +3\beta =-3$

$9\beta =-3\rightarrow \beta =-{\frac {1}{3}}$

• Einsetzen:

$y=c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{x}+c_{3}xe^{x}+{\frac {3}{5}}e^{2x}-{\frac {1}{3}}e^{-2x}$

Lösung bestimmen

• Ableitungen berechnen (für $y'$ und $y''$ aus der Angabe):

$y=c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{x}+c_{3}xe^{x}+{\frac {3}{5}}e^{2x}-{\frac {1}{3}}e^{-2x}$

$y'=-3c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{x}+c_{3}xe^{x}+c_{3}e^{x}+{\frac {6}{5}}e^{2x}+{\frac {2}{3}}e^{-2x}$

$y''=9c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{x}+c_{3}xe^{x}+c_{3}e^{x}+{\frac {6}{5}}e^{2x}+{\frac {2}{3}}e^{-2x}$

• Gleichungen aufstellen:

$y(0)=0=c_{1}+c_{2}+{\frac {3}{5}}-{\frac {1}{3}}$

$y'(0)=0=-3c_{1}+c_{2}+c_{3}+{\frac {6}{5}}+{\frac {2}{3}}$

$y''(0)=4=9c_{1}+c_{2}+2c_{3}+{\frac {12}{5}}-{\frac {4}{3}}$

Lösung: $c_{1}={\frac {2}{5}}$, $c_{2}=-{\frac {2}{3}}$, $c_{3}=0$

Danach einsetzen: $y={\frac {2}{5}}e^{-3x}-{\frac {2}{3}}e^{x}+{\frac {3}{5}}e^{2x}-{\frac {1}{3}}e^{-2x}$