TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 40

Man bestimme die Lösung des folgenden linearen Anfangswertproblems mittels Ansatzmethode:

$y^{‴}+y^{″}-5y^{\prime }+3y=6sinh(2x),y(0)=y^{\prime }(0)=0,y^{″}(0)=4$

Hilfreiches

$\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

Lösung

von - -Drachentöter2017 (Diskussion) 10:20, 9. Mai 2017 (CEST)

Homogener Teil

• Gleichung aufstellen:

${\lambda }^3+{\lambda }^2-5\lambda +3=0$

• Faktorisieren:

$(\lambda -1{)}^2(\lambda +3)=0$

• Lösungen:

1. ${\lambda }_1+3=0\to {\lambda }_1=-3$

2. $(\lambda -1{)}^2=0\to {\lambda }^2-2\lambda +1=0\to {\lambda }_2{,}_3=1$

• Homogene Lösung aufstellen (Resonanzfall beachten!)

$y_h=c_1{e}^{-3x}+c_2{e}^x+c_{3}x{e}^x$

Inhomogener Teil

• Ansatz aufstellen

$6sinh(2x)=\frac{6}{2}(e^{2x}-e^{-2x})=3e^{2x}-3e^{-2x}$

• Ableitungen berechnen:

$y_p=\alpha e^{2x}+\beta e^{-2x}$

$y{\text{'}}_p=2\alpha e^{2x}-2\beta e^{-2x}$

$y^{\prime }{\text{'}}_p=4\alpha e^{2x}+4\beta e^{-2x}$

$y^{″}{\text{'}}_p=8\alpha e^{2x}-8\beta e^{-2x}$

• Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung:

$8\alpha e^{2x}-8\beta e^{-2x}+4\alpha e^{2x}+4\beta e^{-2x}-10\alpha e^{2x}+10\beta e^{-2x}+3\alpha e^{2x}+3\beta e^{-2x}=3e^{2x}-3e^{-2x}$

• Koeffizientenvergleich:

für $e^{2x}$: $8\alpha +4\alpha -10\alpha +3\alpha =3$

$5\alpha =3\to \alpha =\frac{3}{5}$

für $e^{-2x}$: $-8\beta +4\beta +10\beta +3\beta =-3$

$9\beta =-3\to \beta =-\frac{1}{3}$

• Einsetzen:

$y=c_1{e}^{-3x}+c_2{e}^x+c_{3}x{e}^x+\frac{3}{5}{e}^{2x}-\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

Lösung bestimmen

• Ableitungen berechnen (für $y^{\prime }$ und $y^{″}$ aus der Angabe):

$y=c_1{e}^{-3x}+c_2{e}^x+c_{3}x{e}^x+\frac{3}{5}{e}^{2x}-\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

$y^{\prime }=-3c_1{e}^{-3x}+c_2{e}^x+c_{3}x{e}^x+c_3{e}^x+\frac{6}{5}{e}^{2x}+\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$y^{″}=9c_1{e}^{-3x}+c_2{e}^x+c_{3}x{e}^x+c_3{e}^x+\frac{6}{5}{e}^{2x}+\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

• Gleichungen aufstellen:

$y(0)=0=c_1+c_2+\frac{3}{5}-\frac{1}{3}$

$y^{\prime }(0)=0=-3c_1+c_2+c_3+\frac{6}{5}+\frac{2}{3}$

$y^{″}(0)=4=9c_1+c_2+2c_3+\frac{12}{5}-\frac{4}{3}$

Lösung: $c_1=\frac{2}{5}$, $c_2=-\frac{2}{3}$, $c_3=0$

Danach einsetzen: $y=\frac{2}{5}{e}^{-3x}-\frac{2}{3}{e}^x+\frac{3}{5}{e}^{2x}-\frac{1}{3}{e}^{-2x}$