TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 391

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Mit Hilfe der Näherung

\frac{\Delta f(x)}{f(x)} = \frac{xf'(x)}{f(x)}\frac{\Delta x}{x}

für den relativen Fehler der Funktion f(x) finde man Fehlerschätzungen für die folgenden Rechenoperationen f(x) = \sqrt x, f(x) = e^x und f(x) = \sin x.

Ergebnis\ddot a nderung = Konditionszahl \kappa * Eingangs\ddot a nderung
\kappa _{rel} = \left|\frac{f'(x)}{f(x)} x\right|

Man muss also nur K bestimmen um zu erkennen wie sich eine Eingangsänderung auf das Ergebnis auswirkt.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

  1. f(x) = \sqrt x

    \kappa_{rel} = x \cdot \frac{\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}

  2. f(x) = e^x

    \kappa_{rel} = x \cdot \frac{e^x}{e^x} = x

  3. f(x) = \sin x

    \kappa_{rel} = x \cdot \frac{cos x}{sin x} = x \cdot cot x

"Wenn K kleiner als 1 ist, ist die Gleichung gut konditioniert. Eine kleine Änderung am Eingang ergibt dann nur eine kleine Änderung am Ergebnis." - Zitat Tidon - Informatik Forum

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Konditionszahl (Wikipedia)
  2. Thread im Informatik-Forum