TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 391

Mit Hilfe der Näherung

$\frac{\Delta f(x)}{f(x)}=\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\frac{\Delta x}{x}$

für den relativen Fehler der Funktion $f(x)$ finde man Fehlerschätzungen für die folgenden Rechenoperationen $f(x)=\sqrt{x}$, $f(x)=e^x$ und $f(x)=\sin x$.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

$Ergebnis\ddot{a}nderung=Konditionszahl\kappa \ast Eingangs\ddot{a}nderung$
${\kappa }_{rel}=\left|\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}x\right|$

Man muss also nur K bestimmen um zu erkennen wie sich eine Eingangsänderung auf das Ergebnis auswirkt.

Lösungsvorschlag

1. $f(x)=\sqrt{x}$

   ${\kappa }_{rel}=x\cdot \frac{\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$

2. $f(x)=e^x$

   ${\kappa }_{rel}=x\cdot \frac{e^x}{e^x}=x$

3. $f(x)=\sin x$

   ${\kappa }_{rel}=x\cdot \frac{cosx}{sinx}=x\cdot cotx$

"Wenn K kleiner als 1 ist, ist die Gleichung gut konditioniert. Eine kleine Änderung am Eingang ergibt dann nur eine kleine Änderung am Ergebnis." - Zitat Tidon - Informatik Forum

Referenzen

1. Konditionszahl (Wikipedia)
2. Thread im Informatik-Forum