TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Diff SS16
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Vergleich mit TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS16
Analysis 2 für Informatik
Mathematische Methoden des Visual Computing
Übungsbeispiele
1–3) Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und
beschreibe die Höhenlinien:
1) r
2 2 x2 y 2
(a) z =x −y= x − y , (b) z= 1− − .
4 9
2)
x
(a) z = xy, (b) z= .
y
3)
x
(a) z = x2 y, (b) z=z = .
y2
4) Gegeben sei die Polynomfunktion f (x, y) = xy 2 − 10x. Man bestimme die Gleichungen
@@ -35,7 +35,7 @@ g(x, y) = (cxα + dy α )1/α (x Arbeit, y Kapital, c, d, α konstant) homogene
Homogenitätsgrad r = 1 sind.
7) Man prüfe nach, ob die Funktionen
(a) f (x, y, z) = x + (yz)1/2 (für y, z ≥ 0) (b) f (x, y) = x2 + y
(c) f (x, y) = axb y c (mit a, b, c ∈ R, x, y > 0)
homogen sind.
@@ -58,15 +58,15 @@ homogen sind.
(b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und� zweiter� Ordnung für die beiden
2 sin y
Funktionen g(x, y) = x2 sin y + ex+2y und ~h(x, y) = x x+y .
e
10) Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen fxy und fyx für die folgenden
Funktionen f (x, y) übereinstimmen:
x2 2 p
(a) f (x, y) = , (b) f (x, y) = x3 ey , (c) f (x, y) = xy 3 .
1 + y2
11) Man berechne alle Ableitungen erster und zweiter Ordnung sowie die Jacobi-Matrix für
die folgenden Funktionen:
@@ -75,38 +75,39 @@ die folgenden Funktionen:
2 x+y+z 3t ~ x sin y
(a) f (x, y, z) = x sin(yz)+e , (b) ~g (t) = e , (c) h(x, y) = .
1 ex+2y
1+t2
12–13) Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion x(t), sowie die Ableitung
x′x0 (t), wo sie existiert:
12)
� �5 � �!
2t 4 1
x(t) = √ , sin
1 − 3t2 1 + t2
13)!
5
!
t4
x(t) = sin(1 + cos(t)), √
1 − t2
14) Das elektrostatische Potential einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ist durch
Q 1
ϕ1 (x, y, z) = p
4πǫ04π�0 x + y 2 + z 2
2
gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment p = (p, 0, 0) gilt:
1 px
ϕ2 (x, y, z) = .
4πǫ04π�0 (x + y 2 + z 2 )3/2
2
(Dabei sind Q, p und ǫ0�0 Konstante.) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektri-
sche Feld E nach der Formel E = −gradϕ.
15–18) Man bestimme die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktionen:
@@ -117,153 +118,173 @@ sche Feld E nach der Formel E = −gradϕ.
15) f (x, y) = Arctan 16) f (x, y, z) =
1+x+y 1 + sin2 (xyz)
√
2x3 y x + y3 z2y3z2
� �
17) f (x, y) = Arctan 18) f (x, y, z) =
y − x3 1 + cos2 (1 + x)
19–22) Man bestimme die Funktionalmatrix zu f : R3 → R2 :
2
�
x � � x � x �
sin(x + y − z) y2 z
19) f y = 20) f y =
cos xy
�
z xy z 2
z z
x x
q !
x−z
�ln(Arctan(x + y 2 ))
� �
y+1 ln(Arctan(x + y√
21) f y = 22) f y y =
√
−x
z·e y x cos(y 2 − x) · tan(xyz)
z z
xy
23) Durch z = x+y ist eine Fläche im R3 gegeben. Die Beschränkung von x und y auf die
Werte x = eet und y = e−t (t ∈ R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimmet
dz
dt mittels Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst x und y in z einsetzt und
anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche
horizontal?
24) Die Funktion y(x) sei implizit gegeben durch die Gleichung x3 − 3xy + y 3 − 1 = 0 und
besteht aus drei Funktionszweigen, deren Funktionsgraphen zusammengesetzt eine Kurve
in der x, y-Ebene ergeben (siehe Skizze).
dy
(a) Man bestimme die Ableitung y 0 = dx durch implizites
Differenzieren.
(b) Zu x = 1 gibt es drei y-Werte y1 , y2 , y3 , die die obige
Gleichung erfüllen. Man bestimme diese y-Werte und
berechne die Ableitung y 0 in den drei Punkten Pi auf
der Kurve mit den Koordinaten (1, yi ), i = 1, 2, 3 (man
beachte, dass y 0 von x und y abhängt).
(c) Es gibt zwei Punkte Q1 und Q2 auf der Kurve, wo y 0
nicht existiert (“unendlich groß” wird). Man bestimme
die Koordinaten dieser beiden Punkte (dort hängen die
drei Funktionszweige zusammen).
∂ ∂
24)25) Es sei gu (u, v) = ∂u g(u, v) = ln(u sin(u) − v) und gv (u, v) = ∂v g(u, v) = tan(−u + v 3 ).
d
Man bestimme h(t) = dt g(2t, t2 + 1).∂
2∂ 3
25)26) Es sei gu (u, v) = ∂
∂u g(u, v) = e−u und gv (u, v) = ∂
∂v g(u, v) = −ev . Man bestimme
d
h(t) = dt g(t2 − 1, 3t).
26)27) Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion
F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)) nach y an der Stelle (0, 0), wobei f (u, v) = u2 + v 2 , g(x, y) =
cos x + sin y und h(x, y) = x + y + 1 ist.
4
27)28) Es sei F (x, y) = 2x +y
y 5 −2x
, x = 2u − 3v + 1, y = u + 2v − 2. Man berechne ∂F
∂u und ∂F
∂v für
u = 2, v = 1 mit Hilfe der Kettenregel.
28)29) Gegeben sei die quadratische Form q(x) = q(x, y) = 4x2 + 2bxy + 25y 2 mit b ∈ R. Wie
lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodass q(x) = xAxT ? Für welche Werte von
b ist die Form positiv definit?
29)30) Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form 3x2 + axy + 2xz + 2y 2 +
2yz + 2z 2 positiv definit ist.
30)31) Wie Beispiel 2930 für x2 + axy + 3xz + y 2 − 2yz + 4z 2 .
31)32) Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form −x2 + axy − 3xz +−
y 2 − 2yz +− 4z 2 negativ definit ist.
32–37)3
�33–38) Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrizen:
4 2 2 −2 −1 4
32)33) A = 2 2 3 33)34) A = −1 −2 1
2 3 14 4 1 −10
−1 1 1 −3 3 1
34)35) A = 1 −3 −7 35)36) A = 3 −4 2
1 −7 −20 1 2 −10
3 −3 −1 −1 0 0
36)37) A = −3 4 −2 37)38) A = 0 −1 0
−1 −2 10 0 0 1
Hinweis: Setzen Sie den Vektor (1, 0, 0) und
den Vektor (0, 0, 1) in die der Matrix entspre-
chenden quadratischen Form ein.
3
�38–48)39–49) Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f (x, y) im
Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegebenen
Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Deter-
minante negativ ist.
38)39) f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 − y 2 ) für x, y ∈ R.
39)40) f (x, y) = 2x3 − 5xy 2 + 3y für x, y ∈ R.
40)41) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + x + y + 1 für x, y ∈ R.
2 −y 2
41)42) f (x, y) = (x2 + 5y 2 )e−x für x, y ∈ R.
42)2 −2y 2
43) f (x, y) = (x2 + 3y 2 )e −x2 −2y 2)e−x für x, y ∈ R.
43)44) f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
44)45) f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
45)46) f (x, y) = sin(x + y) + sin x − sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
46)47) f (x, y) = sin(x + y) + sin x − sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
47)48) f (x, y) = cos(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π/2.
48)49) f (x, y) = cos(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π.
49)50) Man bestimme die relativen Extrema der Funktion f (x, y) = 4(x − 2)(y 2 + 10y) + 3x3 .
50)51) Man finde alle stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = 2x2 −3xz 2 +y 3 +3z 2 −3y+3
und bestimme daraus die relativen Extrema.
51)52) Man bestimme die Extrema von f (x, y) = x2 + 3xy + 2y 2 .
52)53) Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion f (x, y) = xy(3 − x − y) auf dem
Definitionsbereich D = {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 3 − x}.
(Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (x, y)-Ebene, bestimme dessen
Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann
unter den relativen Maxima im Inneren von D sowie unter den Funktionswerten am Rand
von D zu suchen.)
53–72)54–73) Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multi-
plikatoren.
53)4
�54) Berechnen Sie die Extrema der Funktion f (x, y) = x + y unter der Nebenbedingung
x2 + y 2 = 1.
54)55) Berechnen Sie den maximalen Wert von 3x + 2y unter der Nebenbedingung x + y 2 = 0.
55)56) Berechnen Sie den maximalen Wert von x − 3y unter der Nebenbedingung x2 − y = 0.
56)57) Berechnen Sie den minimalen Wert von x2 +y 2 unter der Nebenbedingung 2x+3y −1 =
0.
57)58) Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene z = x + y, der von dem Punkt (1, 0, 0)
den kleinsten (euklidischen) Abstand hat.
58)59) Man bestimme die extremalen Werte der Funktion f (x, y) = xy auf der Einheitskreis-
linie.
59)60) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maxi-
maler Oberfläche.
4
�60)61) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maxi-
malem Volumen.
61) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maxi-
maler Oberfläche.
62) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maxi-
maler Oberfläche.
63) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maxi-
malem Volumen.
63)64) Welcher Quader mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?
64)65) Welcher Kegel mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?
65)66) Welcher Doppelkegel (das heißt, zwei Drehkegel mit gleicher Grundfläche und gleicher
Höhe, die an ihren Basisflächen zusammengeklebt sind) mit gegebener Oberfläche A besitzt
maximales Volumen?
Hinweis: Quadrieren Sie die Nebenbedingung.
66)67) Ein Turm habe die Form eines oben mittels einer Ebene abgeschnittenen Zylinders.
Das Dach hat somit die Form einer Ellipse. Der Grundriß des Turms sei ein Kreis mit 12m
Durchmesser und Mittelpunkt im Ursprung. Die Ebene, in der das Dach liegt, habe die
Gleichung z = x + 2y + 55. Berechnen Sie die Höhe des Turms.
67)68) Für welche Werte wird f (x, y, z) = xyz unter den Nebenbedingungen xy + yz + zx = a
und x + y + z = b möglichst groß?
68)69) Für welche Werte wird f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 unter den Nebenbedingungen xy + yz +
zx = a und x + y + z = b möglichst groß?
69)70) Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion f (x, y, z) = x + 3y + 2z unter den Nebenbe-
dingungen x2 + y 2 = 1 und x + z = 2.
70)71) Die Herstellung eines Produks P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und
B werde durch die Produktionsfunktion
1 1
(NB) y = f (x1 , x2 ) = 5 − √ − √
@@ -273,142 +294,137 @@ beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch
G(x1 , x2 , y) = yp0 − x1 p1 − x2 p2
gegeben.5
�gegeben. Man maximiere den Gewinn für die Preise p0 = 2, p1 = 1, p2 = 8 und unter Berück-
sichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaximum benötigten
Faktormengen x1 , x2 , die Produktmenge y und den Unternehmergewinn G.
71)72) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = x + y + z 2 unter den
Nebenbedingungen x2 − y 2 + z 2 = 1 und x + y = 1.
72)73) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f (x, y, z) = x − y + z 2 unter den
Nebenbedingungen x2 + y 2 + z 2 = 2 und x − y = 1.
73–94)74–95) Berechnen Sie die folgenden Bereichsintegrale:
73)74) B (xy + x2 − y 2 ) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die
RR
Eckpunkte (−1, 1), (5, 1), (5, 5) und (−1, 5) bestimmt ist.
74)75) B (x + 2xy − y 2 ) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die
RR
Eckpunkte (3, 1), (4, 1), (4, 5) und (3, 5) bestimmt ist.
5
�75)76) B e2x (y + 1) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die Eck-
RR
punkte (−2, 0), (4, 0), (4, 3) und (−2, 3) bestimmt ist.
sin(x+y) dx dy, wobei B ⊂ R2 das Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (0, π), (π, 0),
RR
76)77)
B
(π, π) sei.
RR 2
77)78) x ln(y) dx dy, wobei B ⊂ R2 der Bereich {(x, y) | 1 ≤ y ≤ 2 und |x| ≤ 2} sei.
B
78)79) B 12x2 y 3 dx dy, wobei B der durch x = 4, y = 1 und x+2y = 2 berandete beschränkte
RR
Bereich der (x, y)-Ebene sei.
79)80) B (y − x) dx dy, wobei B ⊂ R2 das durch die Punkte (0, 0), (1, 1), (1, −2) und (4, 3)
RR
festgelegte konvexe Viereck sei.
80)81) B (xy + y) dx dy, wobei B ⊂ R2 das durch die Punkte (−3, 0), (1, 5) und (2, −2)
RR
bestimmte Dreieck sei.
RR x−y 2
81)82) x+y dx dy, mit B ⊂ R das Dreieck mit den Eckpunkten (2, 2), (3, 2), (3, 3).
B
1
RR
82)83) x+y dx dy, mit B = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 2 + x}.
B
(xy + x2 − y 2 ) dx dy, mit B ⊂ R2 der Einheitskreis x2 + y 2 ≤ 1.
RR83)
B
(x + y)2 dx dy, mit B ⊂ R2 bestimmt durch x2 + y 2 ≤ 1.
RR
84)
B
xey(x + y)2 dx dy, wobeimit B ⊂ R2 der Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radiusbestimmt durch x2 + y 2 sei.≤ 1.
RR
85)
B
x ln(y)xey dx dy, wobei B ⊂ R2 der Bereich {(x, y) | y ≥ |x|Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und 1 ≤ x2 + yRadius 2≤ 3} sei.
RR
86)
B
(xy 2 z + 2z 2 )x ln(y) dx dy dz,dy, wobei B ⊂ R3R2 der Bereich {(x, y, z)y) | y ≥ |x| und 1 ≤ x ≤ 2, |y|x2 + y 2 ≤ RRR3} sei.
RR
87)
B
(xy 2 z + 2z 2 ) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Bereich {(x, y, z) | 1 ≤ x ≤ 2, |y| ≤
RRR
88)
B
2 und 0 ≤ z ≤ 1} sei.
RRR 2x
e (y + 1) + x sin(z) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Bereich {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤
�
88)89)
B
2, |y| ≤ 1 und 0 ≤ z ≤ π} sei.
y dx dy dz, wobei B ⊂ R3 die Kugel mit Mittelpunkt (0, 3, 0) und Radius 5 sei.
RRR
89)90)
B
6
� |x| · |y| dx dy dz, wobei B ⊂ R3 die Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius
RRR
90)91)
B
1 sei.
RRR 2
91)92) x yz dx dy dz, wobei B ⊂ R3 die Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius
B
1 sei.
x dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Zylinder B = {(x, y, z)|1 ≤ z ≤ 2, (x − 1)2 + y 2 ≤ 2}
RRR
92)93)
B
sei.
xy dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Zylinderring B = {(x, y, z)|1 ≤ z ≤ 2, 1 ≤ x2 + y 2 ≤
RRR
93)94)
B
2} sei.
x(x2 + y 2 ) dx dy dz, wobei B ⊂ R3 der Zylinderring B = {(x, y, z)|0 ≤ z ≤ 2, 1 ≤
RRR
94)95)
B
x2 + y 2 ≤ 3} sei.
6
�95)96) Es sei B der durch x = 4,RRy = 1 und x + 2y = 2 begrenzte beschränkte Bereich in der
(x, y)-Ebene. Man berechne 12x2 y 2 dxdy auf zwei verschiedene Arten (durch Vertrau-
B
schen der Integrationsreihenfolge).
96)97) Man berechne das Doppelintegral
√
Z y=1 Z x= 1−y
x2
p
1 − y dxdy.
y=0 x=0
Welches Bereichsintegral wird dadurch gegeben? Man berechne das Integral auch bei ver-
tauschter Integrationsreihenfolge.
97)98) Man zeige, dass gilt: Z ∞
1Z x2
√ e− 2 dx = 1.
2π −∞
x2 +y 2
Anleitung: Man betrachte zunächst das Bereichsintegral R2 e− 2 dxdy, welches durch
RR
@@ -416,17 +432,17 @@ Anleitung: Man betrachte zunächst das Bereichsintegral R2 e− 2 dxdy, welches
Transformation in Polarkoordinaten bestimmt werden kann un den Wert 2π besitzt. Daraus
ist die Behauptung abzuleiten.
RRR 2
98)99) Man berechne das Bereichsintegral x dxdydz, wobei B ⊂ R3 der Hohlzylinder
B
B = {(x, y, z) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2} ist.
99)100) Berechnen Sie die Fläche einer Ellipse, deren Haupt- bzw. Nebenachse die Länge a
bzw. b hat, mittels eines Bereichsintegrals.
Hinweis: Benützen Sie die Transformation x = a · r · cos φ und y = b · r · sin φ.
100)101) Berechnen Sie ZZ
(x2 + y 2 ) dx dy
B
mit B = {(x, y) : 1 ≤ x2 y2
− ≤ 3, 3 ≤ xy ≤ 5}.
Hinweis: Transformieren Sie den Bereich gemäß
q
@@ -437,44 +453,43 @@ Hinweis: Transformieren Sie den Bereich gemäß
1 p
y(u, v) = √ −u + u2 + 4v 2
2
und7
�und benützen Sie die Tatsache, daß die Funktionaldeterminante einer Transformation invers
zur Funktionaldeterminante der inversen Transformation ist.
101)102) Berechnen Sie
Z1 Z1
dx dy
.
1 − x2 y 2
0 0
sin v cos u
Hinweis: Verwenden Sie die Transformation x = sin u und y = cos v .
102)103) Berechnen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers, der entsteht, wenn das durch
x2 y2
− = 1, −10 ≤ y ≤ 10,
4 25
gegebene Hyperbelstück
umR √um die y-Achse rotiert.7
� R√
Hinweis: Das Integral 1 + x2 dx läßt sich mit der Substitution x = sinh t (dx = cosh t dt)
berechnen. Man beachte weiters cosh t = (et − e−t )/2.
103)104) Die Punkte (0, 0, 0), (0, 0, 2), (1, 0, 0) und (0, 1, 0) seien die Eckpunkte eines Tetra-
eders. Bestimmen Sie dessen Volumen mit Hilfe eines geeigneten Bereichsintegrals.
104)105) In die Kugel {(x, y, z) x2 + y 2 + z 2 = 9} werde ein zylindrisches Loch gebohrt. Der
Zylinder sei durch {(x, y, z) x2 + 2x + y 2 ≤ 0} gegeben. Wie groß ist das Restvolumen?
105)106) Das Ellipsoid mit Mittelpunkt (0, 0, 0) und den Achsenlängen 5, 3, 3 kann durch die
Gleichung
x2 y 2 z 2
+ + =1
25 9 9
beschrieben werden. Berechnen Sie die Oberfläche dieses Ellipsoids, indem Sie es als Rota-
tionskörper auffassen.
106)107) Gegeben ist ein Kegel mit Höhe h und Basiskreisradius r. Berechnen Sie die Mantel-
fläche, indem Sie den Kegel als Rotationskörper interpretieren.
107)108) Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel mit Radius r, indem Sie die Kugel als
Rotationskörper interpretieren.
108)109) Man gebe eine Parametrisierung für die Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem
Radius R und der√ z-Achse√ als Rotationsachse an. Für welche Parameterwerte erhält man
den Punkt P (R/ 2, R/ 2, 3π/4) auf der Zylinderoberfläche.
Gesucht sind ferner die Parameterdarstellungen für folgende drei Kurven durch den Punkt
@@ -484,7 +499,7 @@ P auf der Mantelfläche:
(b) einen Breitenkreis,
(c) eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe π.
109)110) Gegeben sei die parametrisierte Kurve
sin(t+ π )
� � � �
x(t)
@@ -493,65 +508,68 @@ P auf der Mantelfläche:
für 0 ≤ t ≤ 2π (Lissajous-Figur). Man skizziere die Kurve ~x(t). Ferner berechne man mit
dy d2 y
Hilfe der Kettenregel die Ableitungen dx sowie dx 2 für y = y(x). In welchen Punkten hat die
Kurve8
�Kurve waagrechte bzw. senkrechte Tangenten? Können Sie auch die Wendepunkte dieser
Kurve bestimmen? (Verwenden Sie dabei ein Computeralgebrasystem oder WolframAlpha.)
110)111) Zeigen Sie, dass die Funktion ~x : R2 → R3 gemäß
� x(θ,ϕ) � � �
(R+r cos θ) cos ϕ
~x(θ, ϕ) = y(θ,ϕ) = (R+r cos θ) sin ϕ , mit 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
z(θ,ϕ) r sin θ
als Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen werden kann. Erklären Sie diese
Darstellung anhand einer geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi-Matrix dieser Funktion?
111)112) Man bestimme Volumen und Oberfläche eines Torus. Dabei beachte man die in Bei-
spiel 110111 angegebene Parametrisierung.112–116) Man bestimme die Bogenlänge der folgenden Kurven.
113–117) Man bestimme die Bogenlänge der folgenden Kurven.
113)
t2
8
�112)
t2
c(t) = cos t , 0 ≤ t ≤ 2π.
sin t
Hinweis: Man substituiere t = sinh(u)/2 und verwende cosh2 u−sinh2 u = 1 sowie cosh(u) =
eu +e−u
2 .
113)114)
t
c(t) = − sin t , 0 ≤ t ≤ π.
cos t
114)115)
3t2
c(t) = −t3 , 0 ≤ t ≤ 5.
6t
115)116)
cos3 t
�3 �cos t
c(t) = , 0 ≤ t ≤ 2π.
sin3 t
116)117) � �
x(t)
c(t) = , 0 ≤ x(t) ≤ 5,
y(t)
wobei x = x(t) und y = y(t) implizit durch y 2 = x3 gegeben sind.
117)118) Wie groß sind die Bogenlängen der folgenden Kurven?
� 12 �
t
� 2 �
t
(a) ~x(t) = 1 2 3 , 0 ≤ t ≤ T, (b) ~x(t) = cos t , 0 ≤ t ≤ 2π.
3
(2t+1) 2 sin t
118)119) Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:
t2 /2
� �
@@ -559,31 +577,31 @@ wobei x = x(t) und y = y(t) implizit durch y 2 = x3 gegeben sind.
3 (2t + 1)
119)9
�120) Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:
�4
(t + 1)3/2
�
x(t) = 3 ,t ≥ 0
t2 /2
120)121) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve, die durch die Gleichung x2 +y 2 = |x| implizit
gegeben ist.
121–124)122–125) Man berechne das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion f längs der Kurve
c(t).
121)122) f (x, y) = 2x + 5y, c(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π.
xy
122)123) f (x, y) = x2 +y 2
, c(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π/2.
123)124) f (x, y) = √1
+ √1√1y , c(t) = (cos2 t, sin2 t), π/6 ≤ t ≤ π/3.
xy
9
�
p
124)125) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , c(t) = (t cos t, t sin t, t), 0 ≤ t ≤ π.
125)126) Ein Turm habe die Form eines oben mittels einer Ebene abgeschnittenen Zylinders.
Das Dach hat somit die Form einer Ellipse. Der Grundriß des Turms sei ein Kreis mit 12m
Durchmesser, seine Höhe betrage 35m. Der tiefste Punkt des Dachs liegt in 30m Höhe. Wie
groß ist die Fläche der Außenmauer dieses Turms.
@@ -591,149 +609,151 @@ Anleitung: Übersetzen Sie die Aufgabenstellung in ein geeignetes Kurvenintegra
larwertigen Funktion und berechenen Sie dieses Integral.
xy 2
� �
126)127) Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld u(x) = entlang des
x2 − y 2
Weges 3y 2 = 4x von (0, 0) nach (3, 2) und entlang des Streckenzugs (0, 0) → (3, 0) → (3, 2).
127)128) Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld
� 2 �
f~(x, y) = x2x−yy 2
(a) längs der beiden achsenparallelen Wege (0, 0) → (0, 2) → (3, 2) sowie (0, 0) → (3, 0) →
3, 2)
(b) entlang der Parabel 3y 2 = 4x von (0, 0) nach (3, 2).
x − y2
� �
128)�
129) Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld u(x) = entlang des
x2 − y 2
Weges 3y 2 = 4x von (0, 0) nach (3, 2) und entlang des Streckenzugs (0, 0) → (3, 0) → (3, 2).
xy 2
� �
129)130) Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld u(x) = entlang des
x2 − y
Weges 3y 2 = 4x von (0, 0) nach (3, 2) und entlang des Streckenzugs (0, 0) → (3, 0) → (3, 2).
130)131) Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral (cos x dx+e−y dy +z 2 dz) wegunabhängig ist und
R
c
berechnen Sie es über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).
131)132) Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral (e−x dx+cos y dy +z 5 dz) wegunabhängig ist und
R
c
berechnen Sie es über einen Weg von (1, 2, 3) nach (−4, −5, −6).
R
132)133) Zeigen Sie, dass das Kurvenintegral (y dx + (y − x) dy) nicht wegunabhängig ist,
c
indem Sie zwei verschiedene Kurven von (0, 0) nach (1, 1) wählen, für welche die Werte der
Kurvenintegrale verschieden sind.
133) Berechnen Sie zunächst10
� (y dx + x dy) mit c(t) = (t2 , t), 0 ≤ t ≤ 1 und untersuchen
R
134) Berechnen Sie zunächst
c
Sie danach, ob das Kurvenintegral wegunabhängig ist.
√
134)135) Berechnen Sie (y 2 dx + x2 dy) mit c(t) = (t, t), 0 ≤ t ≤ 1. Ist das Kurvenintegral
R
c
wegunabhängig?
135)136) Berechnen Sie das Kurvenintegral C (y 2 dx + 2xy dy)
R
a) entlang des Streckenzuges (1, 1) → (3, 1) → (3, 2);
b) entlang der Geraden, die die Punkte (1, 1) und (3, 2) verbindet.
Untersuchen Sie danach, ob das Kurvenintegral wegunabhängig ist.
R
136)137) Berechnen Sie das Kurvenintegral C (sin y dx + x cos y dy)
a) entlang des Streckenzuges (−1, 0) → (0, 0) → (0, 2);
10
�b)b) entlang der Geraden, die die Punkte (−1, 0) und (0, 2) verbindet.
Untersuchen Sie danach, ob das Kurvenintegral wegunabhängig ist.
137)138) Berechnen Sie das Kurvenintegral C (ex sin y dx + ex cos y dy)
R
a) entlang des Streckenzuges (−1, −1) → (−1, 0) → (2, 0);
b) entlang der Geraden, die die Punkte (−1, −1) und (2, 0) verbindet.
Untersuchen Sie danach, ob das Kurvenintegral wegunabhängig ist.
√
138)139) Berechnen Sie (ex dx + ey dy) mit c(t) = ( t, ln t), 1 ≤ t ≤ 2. Ist das Kurvenintegral
R
c
wegunabhängig?
139)140) Berechnen Sie (y 2 ex dx + 2yex dy) mit c(t) = (1, tan t), 0 ≤ t ≤ π/4. Ist das Kurven-
R
c
integral wegunabhängig?
140)141) Man untersuche, ob das Kurvenintegralx
Z
x
(2xy + arctan y + cos x)dx + (x2 + )dy
c 1 + y2
wegunabhängig ist und bestimme gegebenenfalls eine Stammfunktion. Welchen Wert hat
das Integral über einen Weg c von (0, 0) nach (π, 1)?
141)142) Man zeige, dass das Kurvenintegral
Z
(cos xdx + e−y dy + z 2 dz)
c
wegunabhängig ist und berechne dieses Integral über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).
142)143) Man bestimme, falls möglich, ein Potential des Vektorfeldes2y
� � 2y
!
x (x+y)2
u = 2x .
y − (x+y) 2
� �
x
In welchen Gebieten B ⊂ R2 ist das Kurvenintegral über das Vektorfeld u wegun-
y
abhängig?
143)144) Man bestimme, falls möglich, ein Potential des Vektorfeldes
!
� � 2x
x 1+(x2 +y)22 2
u = 11+(x1+y) .
y 1+(x2 +y)2
11
� � �
x
In welchen Gebieten B ⊂ R2 ist das Kurvenintegral über das Vektorfeld u wegun-
y
abhängig?
144)145) Sei α ∈ Z. Man untersuche, für welche α das Vektorfeld f (x, y) = (y α−1 , (α − 1)xy α−2 )
eine Stammfunktion besitzt und berechne diese gegebenenfalls.
145)146) Man zeige, dass das Vektorfeld f~(x, y) = (y α−2 , (α − 2)xy α−3 ) eine Stammfunktion
besitzt und berechne diese.
146)147) Welches der folgenden Vektorfelder f = (f1 , f2 , f3 ) ist ein Gradientenfeld und wie
lautet ggf. eine zu f gehörende Stammfunktion?
(a) (1, 1, 1), (b) (−x, −y, −z), (c) (2x, 2y, 0), (d) (yz, xz, x2 ).
11
�147)148) Man überprüfe, ob das Vektorfeld f = (yz, (x − 2y)z, (x − y)y) eine Stammfunktion
besitzt. Wenn ja, gebe man alle Stammfunktionen an.
148)149) Man finde (z.B. unter Zuhilfenahme der Formeln von Moivre) für die Funktionen
sin2 t, cos2 t, sin3 t, cos3 t
Darstellungen als trigonometrische Polynome der Periode 2π.
149)150) Unter Zuhilfenahme der Moivre’schen Formel finde man eine Darstellung für die Funk-
tionen
cos2 t, sin2 t, cos3 t, sin3 t, cos4 t, sin4 t
als trigonometrische Polynome der Periode 2π.
150)151) Zeigen Sie die folgende Identität.
N N
N + 1221 x
� �
X
ikx
X sin
e =1+2 cos(kx) =
sin x2
k=−N k=1
√
151)152) Zeigen Sie, daß für je zwei Funktionen f und g aus der Menge {1/ 2, sin(x), cos(x), sin(2x),
cos(2x), sin(3x), cos(3x), . . . } gilt:
1 π
@@ -742,168 +762,167 @@ cos(2x), sin(3x), cos(3x), . . . } gilt:
f (x)g(x) dx =
π −π 0 falls f 6= g
152)153) Man zeige, dass die Exponentialfunktionen {eikt | k ∈ Z} ein Orthogonalsystem im
C-Vektorraum der komplexwertigen 2π-periodischen stückweise stetigen Funktionen bilden,
d.h. Z 2π Z 2π (ikt iℓt ikt iℓt ikt −iℓt
0, k 6= ℓ,
he`,
heikt , eei`t i = e eeikt ei`t dt = e eeikt e−i`t dt =
0 0 2π, k=ℓk=`
und leite daraus die Orthogonalität von cos(mt) und sin(mt) für alle m, n ∈ N her, d.h.
Z 2π
hcos mt, sin nti = cos(mt) sin(nt)dt = 0.
0
153)154) Im Vektorraum V der komplexwertigen 2π-periodischen stückweise stetigen Funktio-
nen gebe man ein geeignetes Skalarprodukt hf, gi an, so dass die Exponentialfunktionen
{uk (t) = eikt | k ∈ Z} ein Orthonormalsystem in V bilden (vergleiche mit Beispiel 152). Aus
der allgemeinen Bessel’schen Ungleichung
|hf, uk i|2 ≤ ||f ||212
�{uk (t) = eikt | k ∈ Z} ein Orthonormalsystem in V bilden (vergleiche mit Beispiel 153). Aus
der allgemeinen Bessel’schen Ungleichung
X
|hf, uk i|2 ≤ ||f ||2
k
leite man dann die Bessel’sche Ungleichung für komplexe Fourierreihen her.
154)155) Sei f (t) eine auf [0, T ] stückweise stetige T -periodische Funktion f (t). Man zeige, daß
dann für die zu f (t) gehörende Fourierreihe
∞
X
Sf (t) = ck eikωt ∼ f (t)
k=−∞
der folgende Verschiebungssatz (Verschiebung im Frequenzbereich) gilt:
∞
X
inωt
e f (t) ∼ ck−n eikωt , für n ∈ Z.
k=−∞
12
�der folgende Verschiebungssatz (Verschiebung im Frequenzbereich) gilt:
∞
X
einωt f (t) ∼ ck−n eikωt , für n ∈ Z.
k=−∞156) Bestimmen Sie die (reelle und komplexe) Fourierreihe der 2π-periodischen Funktion
155) Bestimmen Sie die (reelle und komplexe) Fourierreihe der 2π-periodischen Funktionf (t) = t, 0 ≤ t < 2π, 2π-periodisch fortgesetzt.
f (t) = t, 0 ≤ t < 2π, 2π-periodisch fortgesetzt.157) Bestimmen Sie die (reelle und komplexe) Fourierreihe der 2π-periodischen Funktion
156) Bestimmen Sie die (reelle und komplexe) Fourierreihe der 2π-periodischen Funktionf (t) = t2 , 0 ≤ t < 2π, 2π-periodisch fortgesetzt.
f (t) = t2 , 0 ≤ t < 2π, 2π-periodisch fortgesetzt.158) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe der 2π-periodischen Funktion
157) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe der 2π-periodischen Funktionf (t) = t2 , −π ≤ t < π, 2π-periodisch fortgesetzt.
f (t) = t2 , −π ≤ t < π, 2π-periodisch fortgesetzt.159) Bestimmen Sie die (reelle und komplexe) Fourierreihe der 2π-periodischen Funktion
158) Bestimmen Sie die (reelle und komplexe) Fourierreihe der 2π-periodischen Funktionf (t) = cos t + | cos t|.
f (t) = cos t + | cos t|.
159)160) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe der Funktion
sin 2t
�
für 0 < t ≤ π
f (t) =t
1 + cos 22t für π < t ≤ 2π
mit periodischer Fortsetzung mit der Periode 2π.
160)161) Sei f (t) die 2π-periodische Rechteckschwingung mit Amplitude 1: Auf dem Intervall
[0, 2π) ist f (t) definiert durch
(
1, 0 ≤ t < π,
f (t) =
−1, π ≤ t < 2π,
und außerhalb durch 2π-periodische Fortsetzung. Zeigen Sie, daß die Fourierreihe Sf (t) von
f (t)
161)13
�162) Unter Verwendung der in Beispiel 160161 bestimmten Fourierreihe der Rechteckschwin-
gung f (t) bestimme man die Fourierreihe der im Intervall [0, 2π) folgendermaßen definierten
2π-periodischen Funktion g(t):
(
t, 0 ≤ t < π,
f (t) =
2π − t, π ≤ t < 2π.
Rt
Anmerkung: Man vergleiche 0 f (τ ) dτ mit g(t).
162)163) Man bestimme die reelle und die komplexe Fourierreihe der 2π-periodischen Cosinusimpuls-
Funktion
1 �
f (t) = max{cos t, 0} = cos t + | cos t| .
2
163)164) Mit Hilfe des Resultats von Beispiel 162163 sowie geeigneter Rechenregeln für Fourierrei-
hen bestimme man die Fourierentwicklung für den gleichgerichteten Cosinus | cos t| und für
den gleichgerichteten Sinus | sin t| jeweils in Sinus-Cosinus-Form und in Exponentialform.
13
�164)165) Zeigen Sie, daß für −π/2 < x < π/2 die folgende Identität gilt:
cos 3x cos 5x cos 7x cos 9x π 1
− + − + · · · = cos2 x − cos x
1 · 3 · 5 3 · 5 · 7 5 · 7 · 9 7 · 9 · 11 8 3
Gilt diese Identität auch in einem Intervall (−a, a) mit a > π/2?
Hinweis: Entwickeln Sie cos2 x in eine Fourierreihe.
165)166) Entwickeln Sie die Funktion f (t) = sin(at) (a ∈/ Z) gegeben auf [−π, π] mit periodi-
scher Fortsetzung mit der Periode 2π in ihre reelle Fourierreihe.
166)167) Die Funktion f (t) = 1 − t für 0 < t < 1 soll auf dem Intervall (−1, +1) zu einer
(a) geraden bzw. (b) ungeraden Funktion erweitert und außerhalb dieses Intervalls mit
der Periodenlänge 2 periodisch fortgesetzt werden. Man ermittle die beiden komplexen
Fourierreihen.
167)168) Zeigen Sie, daß eine gerade T -periodische Funktion (d.h. f (t) = f (−t)) in ihrer reellen
Fourierentwicklung keine Sinusterme enthalten kann.
168)169) Zeigen Sie, daß eine ungerade T -periodische Funktion (d.h. f (t) = −f (−t)) in ihrer
reellen Fourierentwicklung keine Cosinusterme enthalten kann.
169)170) Man zeige: Ist eine 2π-periodische Funktion f (t) gerade, d.h. f (−t) = f (t), dann sind
alle Fourierkoeffizienten bn = 0, für n ≥ 1. Ist f (t) hingegen ungerade, d.h. f (−t) = −f (t),
dann sind alle Fourierkoeffizienten an = 0, für n ≥ 0.
170)171) Man zeige: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten an , bn bzw. ck einer 2π-periodischen
Funktion kann an Stelle des Intervalls [0, 2π] auch jedes Intervall der Form [a, a + 2π] mit
a ∈ R als Integrationsintervall gewählt werden.
2
171)172) Wie lautet die reelle Fourierreihe der Funktion f (t) = πt 2 für −π ≤ t ≤ π und
f (t + 2π) = f (t) ? Können Sie aus dieser Darstellung die Gültigkeit nachstehender Formeln
ableiten?
∞ ∞
X 1 π2 X (−1)n+1 π2
= , = .
n2 6 n2 12
n=1 n=1
P∞ 1
172)173) Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Fourierreihe den Wert von n=1 n4 .
Hinweis: Man betrachte Beispiel 171.
173)172.
14
�174) Bestimmen Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung des cosh z,
ez + e−z X z 2n
cosh z = = , z ∈ C,
2 (2n)!
n≥0
die Summe der folgenden trigonometrischen Reihe:
∞
X cos 2nt
(2n)!
n=0
P∞ cos 2nt+i sin 2nt
Hinweis: Man fasse die Reihe als Realteil von n=0 (2n)! auf.
174)175) Bestimmen Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung des sinh z,
eiz − e−iz X z 2n+1
sin z = = (−1)n · , z ∈ C,
2i (2n + 1)!
n≥0
14
�diedie Summe der folgenden trigonometrischen Reihe:
∞
X sin((2n + 1)t)
(−1)n ·
(2n + 1)!
n=0
175)176) Man entwickle die Funktion
g(t) = et , 0≤t<T
in eine reine Cosinusreihe, d.h., man bestimme die (gewöhnliche) Fourier-Reihe der 2T -
periodischen Funktion h(t), welche die gerade 2T -periodische Fortsetzung von g(t) darstellt:
@@ -912,248 +931,244 @@ periodischen Funktion h(t), welche die gerade 2T -periodische Fortsetzung von g(
h(t) = h(t + 2T ) = h(t).
g(−t), −T < t < 0,
176)177) Man entwickle die Funktion
f (t) = sin t, 0≤t<π
in eine Fourier-Cosinusreihe, indem man f (t) gerade mit Periode T = 2π fortsetzt und die
(gewöhnliche) Fourier-Reihe berechnet.
177)178) Sei f (x) = eiβx für −π ≤ x ≤ π, wobei β eine reelle, jedoch keine natürlicheganze Zahl ist. Man
zeige unter Verwendung der Parseval’schen Gleichung für komplexe Fourier-Reihen, dass
∞
X sin2 (π(β − m))2
= π2.
−∞
(β − m)
178)m)2
179) Man zeige mit Hilfe des Weierstraß’schen M -Tests (Satz 8.10), dass unter der Voraus-
setzung s > 0 die folgende Reihe gleichmäßig auf [0, ∞) konvergiert:
∞
X kT �
e−st (−1)k u t − .
2
k=0
Bemerkung: u(t) bezeichnet die Heavisidefunktion.
179)15
�180) Man zeige die gleichmäßige Konvergenz von
∞
X 1
√
n=0
2n 1 + 2nx
im Intervall [0, ∞).
180)181) Man zeige die gleichmäßige Konvergenz von
∞
X 1
√
n
n=1
n2 1 + x2
für x ∈ R.
181)182) Zeigen Sie, daß die Reihe
∞
X 1
n2 + x2
n=1
15
�aufauf ganz R gegen eine stetige Grenzfunktion f (x) konvergiert und berechnen Sie
Z ∞
f (x) dx.
0
P∞
182)183) Sei n=0 an eine absolut konvergente Reihe und T > 0. Untersuchen Sie, ob die
Funktionenreihe
X∞
sin(an x)
n=0
auf dem Intervall [−T, T ] gleichmäßig konvergiert.
183)184) Entwickeln Sie die Funktion f (t) = sgn(cos x) im Intervall [−π, π] mit periodischer
Fortsetzung mit Periode 2π in ihre reelle Fourierreihe.
184)185) Sei a ∈/ Z. Entwickeln Sie f (t) = π cos(at), 0 ≤ t < 2π, mit 2π-periodischer Fortset-
zung in eine Fourierreihe und beweisen Sie durch geeignete Wahl von t die Identität
π 1 2a 2a 2a 2a
= − 2 +2 −2 +2 − ···
sin(πa) a a − 1 aa2 − 4 aa2 − 9 aa2 − 16
185)186) Man zeige, dass für die Fouriermatrix FN , gegeben durch
···
1 1 1··· 1
1 w w2 ··· wN −1 w2 w4
w2(N −1)
FN :=
1 w2 w4 ···
.. .. .. ..
..
. . . . .
2
1 wN −1 w2(N −1) · · · w(N −1)
mit w = e2πi/N , gilt:
FN · FN = N · EN .
Dabei bezeichnet FN die konjugierte Matrix und EN die N × N -Einheitsmatrix.
186)16
�187) Man zeige unter Verwendung von Beispiel 185,186, daß zwischen den Funktionswerten yj ,
j = 0, . . . , N − 1 und den Spektralkoeffizienten ck , k = 0, . . . , N − 1 folgende Beziehung gilt,
die sogenannte Parsevalsche-Gleichung:
N −1 N −1
X
2 1 X
|ck | = |yj |2 .
N
k=0 j=0
187)188) Im Vektorraum V = CN gebe man ein geeignetes Skalarprodukt hf~, ~g i an, so dass die
N Vektoren n o
2πi
~uk = e N kj , j = 0, . . . , N − 1 , k = 0, . . . , N − 1
�
eine Orthonormalbasis in V bilden. Aus der allgemeinen Parseval’schen Gleichung
|hf, uk i|2 = ||f ||2
X
|hf, uk i|2 = ||f ||2
k
leite man dann die Parseval’sche Gleichung für die DFT her.
16
� 188)189) Man zeige die folgenden Verschiebungsformeln einer diskreten periodischen Funktion
~y ∈ CN :
DF T
(a) Verschiebung im Zeitbereich: (yk+n )k −−−→ (wkn ck )k ,
DF T
(b) Verschiebung im Frequenzbereich: (wkn yk )k −−−→ (ck−n )k .
189)190) Gesucht ist das (eindeutig bestimmte) trigonometrische Polynom
n
X
f (t) = ck eikt
k=−n
2πj
von minimalem Grad n, welches im Intervall [0, 2π] an den drei Stützstellen tj = 3 , für
j = 0, 1, 2, die vorgegebenen Funktionswerte f (tj ) = yj annimmt:
√ √
3 3
y0 = 0, y1 = , y2 = − .
2 2
Wie lautet das trigonometrische Polynom in der Sinus-Cosinus-Form?
190)191) Seien y, z ∈ CN und c, d ∈ CN ihre Spektralwerte. Außerdem bezeichne (xk )k die
N -periodische Fortsetzung des Vektors x ∈ CN sowie w = e2πi/N . Zeigen Sie, daß für die
sogenannte periodische Faltung gilt:
N −1
!
1 X DF T
y ∗ z := yℓ zk−ℓy` zk−` −→ (ck · dk )k
N
ℓ=0`=0 k
191)192) Berechnen Sie die Spektralkoeffizienten des N -periodischen diskreten Rechteckimpul-
ses (xk )k mit x0 = xN −1 = 1 und xj = 0 für j = 1, 2 . . . , N − 2.
192)193) Man berechne die Spektralkoeffizienten ck , 0 ≤ k ≤ N − 1, für die diskrete Rechteck-
funktion ~y = (y0 , . . . , yN −1 )T , wobei N = 2M als gerade vorausgestzt wird, mit
(
1, 0 ≤ j ≤ N2 − 1,
yj = N
0, 2 ≤ j ≤ N − 1.
193)17
�194) Sei N durch 3 teilbar, also N = 3M . Man berechne die Spektralkoeffizienten ck ,
0 ≤ k ≤ N − 1, für die diskrete N -periodische Funktion, welche durch den Vektor y =
(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, . . . , 1, 0, 0) beschrieben wird.
194)195) Man gebe explizit die Fourier-Matrix F4 und deren Inverse F4−1 zur Diskreten Fourier-
Transformation mit N = 4 an. Insbesonder führe man damit für den Vektor
f~ = (10, 2, 4, 16)T
die DFT und anschließend die IDFT durch.
195)196) Führen Sie für y = (0, 1, 2, 3) die FFT explizit durch.
196)197) Man betrachte die diskrete N -periodische Funktion, welche durch den Vektor
~y = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, . . . , 1, 0, 0)T beschrieben wird, wobei N durch 3 teilbar sein muß,
also N = 3M mit M ∈ N gilt. Man berechne nun die Spektralkoeffizienten ck , mit 0 ≤ k ≤
N − 1, von ~y .
17
�197)198) Berechnen Sie das Produkt der beiden Polynome p(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4 und
q(x) = 4x3 + x2 + 2x + 3 mit Hilfe der diskreten Fouriertransformation.
198)199) Wie verläuft die Multiplikation der Polynome p(x) = 4 − 4x und q(x) = 6 + 2x mit
Hilfe der Diskreten Fourier-Transformation?
Anleitung: Man repräsentiere p(x) und q(x) durch Vektoren in C4 und berechne deren
Faltung mittels Diskreter Fourier-Transformation mit N = 4.
199)200) Unter der generellen Voraussetzung, daß f (t) absolut integrierbar ist, zeige man folgen-
de Rechenregeln für die Fourier-Transformation (F (ω) bezeichne die Fourier-Transformierte
von f (t)).
(a) Streckung: Für c 6= 0 gilt:
1 �ω �
F f (ct) = F .
|c| c
(b) Differentiation im Zeitbereich: Ist f (t) stetig und stückweise differenzierbar und ist
weiters f ′0 (t) Fourier-transformierbar, so gilt:
F f ′0 (t) = iωF (ω).
200)201) Unter der generellen Voraussetzung, daß f (t) absolut integrierbar ist, zeige man folgen-
de Rechenregeln für die Fourier-Transformation (F (ω) bezeichne die Fourier-Transformierte
von f (t)).
(a) Streckung: Für c 6= 0 gilt:
1 ω�
F f (ct) = F .
|c| c
(b) Verschiebung im Zeitbereich:
F f (t − a) = e−iωa F (ω),
für a ∈ R.
201)202) Für die Fourier-Transformation F beweise man folgende Rechenregeln (falls f absolut
integrierbar ist und F(f (t)) = fˆ(ω)):
1 ˆω
(a) f (t) → fˆ(−ω), (b) f (ct) → f ( ), c 6= 0, (c) f (t − α) → e−iωα fˆ(ω), α ∈ R.
|c| c
202)18
�203) Berechnen Sie die Spektralfunktion von
�
1, 0 < t < 1,
f (t) =
0, sonst.
203)204) Berechnen Sie die Spektralfunktion von
� 2
t , 0 < t < 1,
f (t) =
0, sonst.
204)205) Man berechne die Fourier-Transformierte fˆ(ω) für den Abklingvorgang (einseitig ab-
fallender Impuls) (
0, t < 0,
f (t) = −δt
e , t ≥ 0.
18
�ManMan zeige, dass fˆ(ω) (als Kurve mit dem Paramter ω ≥ 0) einen Halbkreis in der komplexen
1 1
Ebene um den Mittelpunkt 2δ mit Radius 2δ beschreibt.
205)206) Man berechne die Spektralfunktion fˆ(ω) für den Dreiecksimpuls
t
C(1 + T ),
@@ -1161,69 +1176,70 @@ Ebene um den Mittelpunkt 2δ mit Radius 2δ beschreibt.
t
f (t) = C(1 − T ), 0 ≤ t < T,
0, sonst.
206)207) Zeigen Sie: Falls f (t) eine gerade Funktion ist, dann kann die Fouriertransformierte
F (ω) von f (t) durch Z ∞
F (ω) = 2 f (t) cos(ωt) dt
0
berechnet werden.
207)208) Man zeige: falls f (t) eine ungerade Funktion ist, also f (−t) = −f (t) für alle t ∈ R
gilt, dann kann die Fourier-Transformierte F (ω) von f (t) wie folgt berechnet werden:
Z ∞
F (ω) = −2i f (t) sin(ωt)dt.
0
208)209) Unter Berücksichtigung von Beispiel 206207 berechne man die Fouriertransformierte für
die im Buch auf Seite 385 skizzierte Zeitfunktion y = f (t):
y
1
−2 0 2 t
209)210) Man zeige: falls f (t) eine ungerade Funktion ist, also f (−t) = −f (t) für alle t ∈ R
gilt, dann kann die Fourier-Transformierte F (ω) von f (t) wie folgt berechnet werden:
Z ∞
F (ω) = −2i f (t) sin(ωt)dt.
0
210)19
�211) Man löse mit Hilfe der Fourier-Transformation folgende Integralgleichung vom Fredholm-
Typ für x(t): Z ∞
1
e−|t−τ | x(τ )dτ = .
−∞ 1 + t2
211)212) Man bestimme die Laplacetransformierten der folgenden Funktionen.
(a) e6t+2
(b) f (t) = 1 + 2t + 3t2
212)213) Man bestimme die Laplacetransformierten der folgenden Funktionen.
Rt
(a) f (t) = τ sin(τ ) dτ
0
19
� (b) f (t) = sin3 (t)
Anleitung: Man bestimme Konstanten a, b, sodaß sin3 (t) = a sin(3t) + b sin(t) mit
Hilfe der Summensätze oder der Moivre-Formeln.
213)214) Man bestimme die Laplace-Transformierten der folgenden Funktionen:
(a) f (t) = 1+2t+3t2 , (b) g(t) = e4+5t , (c) h(t) = eiωt , h1 (t) = cos(ωt), h2 (t) = sin(ωt).
214)215) Man beweise folgende Skalierungseigenschaft der Laplace-Transformation:
1 �s�
L{f (at)}(s) = L{f (t)}
a a
und berechne die Laplace-Transformierten folgender Funktionen:
@@ -1231,279 +1247,284 @@ und berechne die Laplace-Transformierten folgender Funktionen:
(b) t2 cos(7t).
215)216) . Beweisen Sie die beiden Verschiebungssätze
L(e−at f (t)) = F (s + a) s-Verschiebung
und
L(f (t − a)σ(t − a)) = e−as F (s) t-Verschiebung,
wobei σ die Sprung- oder Heavisidefunktion bezeichnet.
216)217) Man zeige mittels partieller Integration, dass
L(f ′0 (t)) = sF (s) − f (0+ )
gilt, wobei F (s) die Laplace-Transformierte von f (t) bezeichnet und f (0+ ) für den rechts-
seitigen Grenzwert steht. (Die Funktionen f (t) und f ′0 (t) seien Laplace-Transformierbar und
f (t) sei stetig auf R+ .)
Durch vollständige Induktion gewinne man daraus die entsprechende Regel für die höheren
Ableitungen L(f (n) (t)).
1
217) Zu welcher Funktion ist F (s) = (1+as)(1+bs) Laplace-Transformierte? Man löse diese
Aufgabe sowohl mittels (a) Partialbruchzerlegung als auch mittels (b) Faltung.
218–219) Lösen Sie folgende AWP mittels Laplacetransformation.
218)
y ′′ + 3y ′ + 2y = 6e−x , y(0) = 1, y ′ (0) = 5.
219)
y ′′′ + y ′′ − 5y ′ + 3y20
� 1
218) Zu welcher Funktion ist F (s) = 6 sinh 2x, y(0) = y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 4.(1+as)(1+bs) Laplace-Transformierte? Man löse diese
Aufgabe sowohl mittels (a) Partialbruchzerlegung als auch mittels (b) Faltung.
220) Man löse mit Hilfe der Laplace-Transformation die219–220) Lösen Sie folgende partielle Differentialglei-
chung unter den vorgegebenen Nebenbedingungen:AWP mittels Laplacetransformation.
219)
y 00 + 3y 0 + 2y = 6e−x , y(0) = 1, y 0 (0) = 5.
xux220)
y 000 + uty 00 − 5y 0 + 3y = xt, u(0, t)6 sinh 2x, y(0) = y 0 für t ≥(0) = 0, u(x, 0)y 00 (0) = 0 für x ≥ 0.4.
221) Man löse mit Hilfe der Laplace-Transformation die folgende partielle Differentialglei-
chung unter den vorgegebenen Nebenbedingungen:
xux + ut = xt, u(0, t) = 0 für t ≥ 0, u(x, 0) = 0 für x ≥ 0.
20
�Anleitung:Anleitung: Die Laplace-Transformation bezüglich t liefert für U (x, s) = L{u(x, t)} eine
gewöhnliche Differentialgleichung:
x
xUx + sU = .
s2
Lösen dieser Differentialgleichung und Berücksichtigen der Anfangswerte liefert nach der
Rücktransformation die gesuchte Lösung.
221–222)222–223) Berechnen Sie die folgenden Faltungsprodukte und ihre Laplacetransformierten.
221)222)
(a) 1 ∗ 2
(b) et ∗ e2t
222)223)
(a) sin t ∗ cos 2t
(b) u(t − 1) ∗ t
Mit u(t) wird die Heavisidefunktion bezeichnet.
223)224) Man löse die Integralgleichung:
Z t
2
x(t) = t + x(y) sin(t − y)dy.
0
224)225) Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformierten die folgende Differential-Integralgleichung.
Z t
ẋ(t) + x(τ ) cosh(t − τ ) dτ = 0, x(0) = 1.
0
et +e−t
Bemerkung: cosh(t) = 2
225)226) Man löse mit Hilfe der L-Transformation folgendes AWP (lineare Dgl. mit nichtkon-
stanten Koeffizienten):
y ′′00 + ty ′0 − y = 0, y(0) = 0, y ′0 (0) = 1.
Anmerkung:21
�Anmerkung: Durch die L-Transformation erhält man im Bildbereich eine lineare Dgl. 1.
Ordnung. Die in der allgemeinen Lösung auftretende Konstante bestimme man dadurch,
daß Y (s) die Laplace-Transformierte der L-transformierbaren Fkt. y(t) sein soll und daher
lims→∞ Y (s) = 0 gelten muß.
226)227) Zeigen Sie: Ist f (t) eine periodische Funktion mit Periode p, d.h. für alle t ∈ R gilt
f (t + p) = f (t), dann gilt
Z p
1
L(f (t)) = e−st f (t) dt
1 − e−ps 0
R∞ P∞ R (n+1)p
Hinweis: Verwenden Sie L(f (t)) = 0 f (t)e−st dt = n=0 np f (t)e−st dt und substitu-
ieren Sie in geeigneter Weise.
227)228) Man berechne folgende Laplace-Urbilder:21
�
� �
−1 s+3
(a) L−1L .
s(s − 1)(s + 2)
� �
−1 s−1
(b) L−1L .
s2 + 2s − 8
� �
−1 3s + 7
(c) L−1L .
s2 − 2s + 5
� −7s �
−1 e
(d) L .
(s + 3)3
228)229) Man löse das AWP
y ′′00 − 3y ′0 + 2y = 6e−x , y(0) = −9, y ′0 (0) = 6
(a) mittels Ansatzmethode,
(b) mittels Laplace-Transformation.
229)230) Man löse das AWP
y ′′00 − 8y ′0 + 16y = e3x , y(0) = y ′0 (0) = 0
(a) mittels Ansatzmethode,
(b) mittels Laplace-Transformation.
230)231) Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y ′0 + 3y = 1 − e−x , x ≥ 0,
(a) mit Hilfe der Ansatzmethode,
(b) mit Hilfe der Laplace-Transformation.
231)22
�232) Man bestimme die Lösung des folgenden linearen Anfangswertproblems mittels Laplace-
Transformation:
y ′′′000 + y ′′00 − 5y ′0 + 3y = 6 sinh(2x), y(0) = y ′0 (0) = 0, y ′′00 (0) = 4.
232)233) Man betrachtet einen RLC-Reihenschwingkreis unter konstanter Spannung U (t) =
300 Volts. Die Werte sind dabei R = 160 Ohms für den Widerstand, L = 2 Henry für
die Induktivität und C = 0.02 Farad für die Kapazität. Man schreibe die entsprechende
Differentialgleichung 2. Ordnung für die Ladung Q(t) und löse sie mit Hilfe der Laplace-
Transformation (Strom und Ladung sind bei t = 0 als null anzunehmen). Man zeichne
anschliessend den Strom j(t) für t ≥ 0.
233)234) Man löse Beispiel 232,233, wenn der Schwingkreis von der oszillierenden Spannung U (t) =
100 sin(3t) angeregt wird. Man zeige somit, dass sich der Strom j(t) für grosse Zeiten
annähernd wie die oszillierende Funktion A sin(3t + φ) verhält, wo A und φ zu bestimmen
sind.
234–237)235–238) Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben mit Hilfe der Laplacetransformation.
22
�234)235)
xy ′′00 + y ′0 + 2xy = 0, y(0) = 1, y ′0 (0) = 0.
√
Bemerkung: Die Formel L(J0 (at)) = 1/ z 2 + a2 darf ohne Beweis verwendet werden.
235)
y1′ + 2y2 = ex
y1 (0) = y2 (0) = 0
y2′ + 2y1 = e−x
236)
y1′′y10 + y2′ + 3y12y2 = 1ex
y1 (0) = y2 (0) =0, y1′ (0) = y2′ (0) = 0
y2′′ − 4y1′y20 + 3y22y1 = 0e−x
237)
y100 + y20 + 3y1 = 1
y1 (0) = y2 (0) = 0, y10 (0) = y20 (0) = 0
y200 − 4y10 + 3y2 = 0
238)
y ′′00 + 4y = f (t), y(0) = y ′0 (0) = 0,
mit �
1 für 0 < t ≤ π
f (t) =
0 für π < t ≤ 2π
und periodischer Fortsetzung, also f (t + 2π) = f (t).
238)239) Zeigen Sie, daß die Laplacetransformierte F (s) = L(f (t)) der Funktion
�
0 für 0 ≤ t < log log 3
f (t) =n e t
(−1)n ee /2(−1) e für log log n ≤ t < log log(n + 1)
für alle s ∈ R existiert. F (s) muß nicht berechnet werden.
Bemerkung: log x bezeichnet den natürlichen Logarithmus von x.
Hinweis: Spalten Sie das Laplace-Integral in geeigneter Weise auf, sodaß eine Reihe entsteht,
auf die das Leibnizkriterium anwendbar wird.
239)240) Man bestimme die Urbilder f (t) der angegebenen Laplace-Transformierten F (s) :=
L{f (t)}:
2
s +1
(a) F (s) = ln (s−1) 2,
23
� e−2s −e−4s
(b) F (s) = s .
d
Anmerkung: Man beachte − ds F (s) = L{tf (t)} resp. betrachte die Laplace-Transformierte
der Heavisidefunktion.
240)241) Man verwende die Methode der erzeugenden Funktionen zur Bestimmung der allge-
meinen Lösung der Differenzengleichung erster Ordnung xn+1 −xn +5 = 0 für n = 0, 1, 2, . . . .
241)242) Man finde die Lösung der Differenzengleichung zweiter Ordnung xn+2 = 5xn+1 − 4xn
zu den Anfangsbedingungen x0 = 2 und x1 = 5 mit Hilfe der Methode der erzeugenden
Funktionen.
242–255)243–256) Lösen Sie die Rekursion mit Hilfe von erzeugenden Funktionen:
242)243) an = 2an−1 + 2n−1 (n ≥ 1), a0 = 1.
243)244) an = 2an−1 + 22n−2 (n ≥ 1), a0 = 5.
244)245) an = 3an−1 + 3n−1 (n ≥ 1), a0 = 2.
245)246) an = 5an−1 + 2n−1 − 6n5n (n ≥ 1), a0 = 2.
23
�246)247) an = 2an−1 + (1 + 2n )2 (n ≥ 1), a0 = 2.
247)248) an + an−1 + an−2 = 1 + sin(2n) (n ≥ 2), a0 = 3, a1 = −1.
248)249) an − an−1 + 2an−2 = 1 + cos(2n) (n ≥ 2), a0 = 1, a1 = −2.
249)250) an − an−2 = sin(n) (n ≥ 2), a0 = 7, a1 = −12.
250)251) 2an − 7an−1 + 6an−2 = (n2 + 3n − 4)3n (n ≥ 2), a0 = 10, a1 = −7.
251)252) 2an − 7an−1 + 6an−2 = (3n − 10)2n+2 (n ≥ 2), a0 = 0, a1 = 1.
252)253) an − an−1 − an−2 + an−3 = 1 (n ≥ 3), a0 = 3, a1 = a2 = −1.
253)254) an − an−1 + an−2 = n2 2n (n ≥ 2), a0 = 1, a1 = −1.
254)255) an = 4an−1 − 4an−2 + 22n−2 − n2 5n+3 (n ≥ 1), a0 = 1, a1 = 2.
255)256) an + 3an−1 + 3an−2 + an−3 = 2n − 3(−1)n (n ≥ 3), a0 = a1 = a2 = 1.
256)257) Man löse das System von Rekursionen an+1 = 2an + 4bn , bn+1 = 3an + 3bn (n ≥ 0)
mit den Startwerten a0 = b0 = 1 unter Benützung erzeugender Funktionen.
257)258) Man löse das System von Rekursionen an+1 = 3an + 5bn , bn+1 = 4an + 4bn (n ≥ 0)
mit den Startwerten a0 = b0 = 2 unter Benützung erzeugender Funktionen.
258)259) Sei A(x) = n≥0 an xn die erzeugende Funktion der Folge (an )n≥0 . Man drücke mit
P
Hilfe von A(x) und A(−x) die erzeugende Funktion Ag (x) = k≥0 a2k x2k aus.
P
259)260) Sei A(x) = n≥0 an xn die erzeugende Funktion der Folge (an )n≥0 . Man drücke mit
P
Hilfe von A(x) und A(−x) die erzeugende Funktion Au (x) = k≥0 a2k+1 x2k+1 aus.
PP
nPn−1
260) Sei A(x) = n≥0 P an x die erzeugende Funktion der Folge (an )n≥0 und bn = k=0 ak .
Man drücke B(x) = n≥0 bn xn mit Hilfe von A(x) aus.
n erzeugende Funktion der Folge (an )n≥0 und bn = n+1n−1
P P
261) Sei A(x) = n≥0 P an x die k=1k=0 ak .
Man drücke B(x) = n≥0 bn xn mit Hilfe von A(x) aus.
P n die erzeugende Funktion der Folge (a )
Pn+1
262) Sei A(x) = n≥0 a n x n n≥0 und bn = k=1 ak .
n
P
Man drücke B(x) = n≥0 bn x mit Hilfe von A(x) aus.
263–266) Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge (an )n≥0 :
263) an = n2 + 2n 264) an = n + n3n
262–265) Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge (an )n≥0 :
262) an = n2 + 2n 263) an = n + n3n
264)24
�265) an = n(n − 1) + (−1)n 265)266) an = n(−1)n + 2−n
266–267)267–268) Man bestimme mit Hilfe erzeugender Funktionen:
266)267) sn = nk=0 k(k − 1) 267)268) sn = nk=0 k 2
P P
x
268)269) Man löse die Differentialgleichung y ′0 = x
x−y mit der Isoklinenmethode.
269)270) Man bestätige, dass die Funktionen
K
N (t) = , C ∈ R, sowie N =0
1 + Ce−rt
KLösungen der logistischen Differentialgleichung N 0 (t) = , C ∈ R, sowie N =0
1 + Ce−rtrN (1 − K
N
Lösungen der logistischen Differentialgleichung N ′ (t) = rN (1 − K ) sind. Man berechne und
K
skizziere jene Lösungsfunktion, welche die Anfangsbedingung N (0) = 10 erfüllt.
270)271) Man stelle zu der Kurvenschar
p p
1 + x2 + 1 + y 2 = c
24
�mitmit dem Scharparameter“ c eine Differentialgleichung auf, welche alle Funktionen der Schar
”
als Lösungskurven besitzt.
271)272) Man bestimme die Differentialgleichung der Kurvenscharen x2 + y 2 = C und y =
Cex/C .
272)273) Man betrachte die Kurvenschar Φ(x, y, C) = y − Cx2 − C 2 , C ∈ R.
(a) Bestimmen Sie eine implizite Differentialgleichung erster Ordnung, die diese Kurven-
schar als allgemeine Lösung besitzt.
@@ -1514,145 +1535,144 @@ Cex/C .
Φ(x, y, C) = 0, Φ(x, y, C) = 0
∂C
273)274) Man beweise das Lemma von Gronwall: Sei φ : [a, b] → R stetig. Weiters gelte für alle
x ∈ [a, b] die Ungleichung Z x
0 ≤ φ(x) ≤ C + L φ(t) dt
a
mit C, L ≥ 0. Dann gilt für alle x ∈ [a, b]
φ(x) ≤ CeL(x−a) .
274)275) Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
Ist f : G → R stetig partiell nach y differenzierbar, dann genügt f in jedem Rechteck
R = {(x, y) : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}, das ganz in G liegt, einer L-Bedingung (bezüglich
y) mit L-Konstanten L = max{|fy (x, y)| : (x, y) ∈ R}.
275)276) Man zeige, daß die Funktion f (x, y) = 5| cos(πy)| + x2 in G = R2 einer L-Bedingung
genügt und gebe eine L-Konstante an.
276)277) Bestimmen Sie die vollständige Lösung der Differentialgleichung
(x2 − 1)y ′0 = y.
Für25
�Für welche Anfangswerte von (x0 , y0 ) ist das zugehörige AWP y(x0 ) = y0 nicht oder nicht
eindeutig lösbar? Welche Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes sind dabei
verletzt?
277)278) Für welche Werte von y0 ist das AWP xy ′0 + 2y = 3x, y(0) = y0 lösbar?
Geben Sie für diese Werte jeweils die Lösung an.
278)279) Vom neuesten Modell eines Mobiltelefonproduzenten werden im Weihnachstgeschäft
3000 Stück abgesetzt, nach 12 Monaten sind davon nur mehr 2820 Stück in Betrieb. Un-
ter der Annahme, daß die monatliche Ausscheidungsrate proportional zur Nutzungsdauer
ist, bestimme man die Anzahl y(t) der in Betrieb stehenden Mobiltelefone (von den ur-
sprünglich 3000 Stück) in Abhängigkeit von ihrer Verwendungsdauer t, sowie die längste
Nutzungsdauer.
279–288)280–289) Man löse die folgenden Differentialgleichungen:
279)280) 4x dy − y dx = x2 dy
280)281) (1 + 2y) dx − (4 − x) dy = 0
25
�281)282) cos y dx + (1 − e−x ) sin y dy = 0 (für x = 0 sei y = π/2)
282)283) y ′0 − y tan x = 0
283)284) xy ′0 + y = x2 + 3x + 2
284)285) y ′0 + y cos x = sin x cos x, y(0) = 1
285)286) y ′′00 + 2y ′0 + 2y = 0, y(0) = 1 und y ′0 (0) = 0
286)287) y ′′00 − 3y ′0 − 4y = 2x
287)288) y ′′′000 − 7y ′0 + 6y = 1
288)289) y ′′′000 − 5y ′′00 + 8y ′0 − 4y = e2x
289–292)290–293) Man löse die exakten Differentialgleichungen.
289)290) (x + y + 1) dx − (y − x + 3) dy = 0
2y 2 2y 2
290)291) (2xyex + y 2 exy + 1) dx + (x2 ex + 2xyexy − 2y) dy = 0
291)292) (4x3 y 3 + x1 ) dx + (3x4 y 2 − y1 ) dy = 0
292)293) cos y + y cos x + sin x − x sin y y ′0 (x) = 0
� �
293–296)294–297) Man löse die Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen.
293)294) 4x dy − y dx = x2 dy
294)295) (1 + 2y) dx − (4 − x) dy = 0
295)296) cos y dx + (1 − e−x ) sin y dy = 0 (für x = 0 sei y = π/2)
296)297) y ′0 = y sin x
297–301)298–302) Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung
der Anfangswertaufgabe:
297)298) y − xy ′0 + 1 = 0
1
298)299) y ′0 + 1
1−x y = x2 , y(0) = 11
299) y ′ + 1+2x y = 2x − 3, y(0) = 2
300) y ′ = sin2 x cos2 y
301) xy ′ = yln xy
302–303) Man löse mittels integrierendem Faktor:
302) (x − y 2 ) dx + 2xy dy = 0, M = x−2 .
303) y(3 − 5x2 y) dx + x(2 − 3x2 y) dy = 0, M = x2 y.
304–307) Man löse die homogenen Differentialgleichungen.
304) (2x + 3y) dx + (y − x) dy = 0.
305) (x sin xy − y cos xy ) dx + x cos xy dy = 0.
306) (x2 + y 2 ) dx + xy dy = 0 (für x = 1 sei y = −1).
p p
307) (x x2 + y 2 − y) dx + (y x2 + y 2 − y) dy = 0.
26
�308–311)�300) y 0 + 1
1+2x y = 2x − 3, y(0) = 2
301) y 0 = sin2 x cos2 y
302) xy 0 = yln xy
303–304) Man löse mittels integrierendem Faktor:
303) (x − y 2 ) dx + 2xy dy = 0, M = x−2 .
304) y(3 − 5x2 y) dx + x(2 − 3x2 y) dy = 0, M = x2 y.
305–308) Man löse die homogenen Differentialgleichungen.
305) (2x + 3y) dx + (y − x) dy = 0.
306) (x sin xy − y cos xy ) dx + x cos xy dy = 0.
307) (x2 + y 2 ) dx + xy dy = 0 (für x = 1 sei y = −1).
p p
308) (x x2 + y 2 − y) dx + (y x2 + y 2 − y) dy = 0.
309–312) Man löse die folgenden speziellen Differentialgleichungen.
308)309) y ′0 = − x1 y + ln x 2
x y .
309)310) y ′0 + 2xy = 2x3 y 3 .
310)311) y ′0 = y 2 + (1 − 2x)y + (1 − y + x2 ) (y1 = x).
311)312) x2 y ′0 = x2 y 2 + xy + 1 (y1 = −x−1 ).
312–316)313–317) Man löse die folgenden Differentialgleichungen mittels spezieller Ansätze.
312)313) x2 y ′′00 − 5xy ′0 + 5y = 0. Ansatz: y = xr .
313)314) x3 y ′′′000 − 3x2 y ′′00 + 6xy ′0 − 6y = 0. Ansatz: y(x) = xr .
314)315) x2 y ′′00 + 3xy ′0 − 3y = 0. Ansatz: y = xr .
315)316) x2 y ′′00 − xy ′0 − 3y = x. Ansatz für yh (x): y = xr . Zur Bestimmung von yp (x) versuchen
Sie die Standardansätze.
316)317) x2 y ′′00 + xy ′0 − 3y = 5x2 . Ansatz für yh (x): y = xr . Zur Bestimmung von yp (x) versuchen
Sie die Standardansätze.
317)318) Man ermittle alle Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichung
y2 − 4
y′y0 =
x
durch Trennung der Variablen und anschließender Partialbruchzerlegung.
318)319) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y2
+ 2yex dx + y + ex dy = 0.
� �
2
Hinweis: Die Gleichung kann mit Hilfe eines integrierenden Faktors in eine exakte Gleichung
transformiert werden.
319)320) Man löse die Bernoulli’sche Differentialgleichung
√
xy ′0 − 4y − x2 y = 0.
320)27
�321) Durch die Transformation y(x = z(ln x) und Rückführung auf eine lineare Differen-
tialgleichung bestätige man, dass die allgemeine Lösung der nachstehenden Euler’schen
Differentialgleichung
x2 y ′′00 − 6y = 12 ln x
durch
C2 1
y(x) = C1 x3 + 2
− 2 ln x + , C1 , C2 ∈ R
x 3
gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y(1) = 32 , y ′0 (1) =
−1?
321)322) Das Wachstum einer Population der Größe N (t) zur Zeit t werde durch die Differen-
tialgleichung
dN
= r(K − N ) mit N (0) = N0
dt
beschrieben. Dabei sind r und K positive Parameter. Man löse die Differentialgleichung (a)
durch Bestimmung der homogenen Lösung und Variation der Konstanten bzw. (b) durch
27
�AuffindenAuffinden einer partikulären Lösung für die inhomogene Gleichung mittels eines konstanten
unbestimmten Ansatzes Np (t) = A. Ferner skizziere man den Graphen der Lösungsfunktion
für r = 0.08 und K = 1000.
322)323) Ein RCL-Schwingkreis besteht aus einer Induktivität L von 0.05 Henry, einem Wi-
derstand R von 20 Ohm, einem Kondensator C von 100 Mikrofarad sowie einer elektromo-
torischen Kraft (“Batterie”) von E = E(t) = 100 cos(200t), die in Reihe geschaltet sind.
Bestimme den Strom i = i(t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t R> 0 unter der Anfangsbedin-
@@ -1660,98 +1680,107 @@ Bestimme den Strom i = i(t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t R> 0 unter der Anfan
gung i(0) = 0 und der Bedingung, daß für die Ladung q(t) = τ =0 i(τ )dτ gilt mit q(0) = 0.
Wählen Sie zur Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die
Ansatzmethode.
1 t
Anleitung: Es gilt L di(t)
R
dt + Ri(t) + C τ =0 i(τ )dτ = E(t).
323)324) Ein elektrischer Schwingkreis enthält einen Widerstand R mit 8 Ohm, der mit einer
Induktion L von 0.5 Henry und einer Batterie von E = E(t) Volt in Reihe geschaltet ist.
Bei t = 0 ist der Strom gleich Null. Berechne den Strom I = I(t) zu einer beliebigen Zeit
t > 0 und den maximalen Strom, wenn
1. E = E(t) = 64,
1. E = E(t) = 64,
2. E = E(t) = 32e−8t .
Hinweis: Es muß gelten, daß die Summe der Spannungsabfälle im Schwingkreis = 0 ist
(Batterie: negativer Abfall). Der Spannungsabfall beim Widerstand ist RI und bei der
Induktion L dI
dt .
324)325) Ein Tank enthält 100 Liter Wasser. Eine Salzlösung, die 0.5 kg Salz pro Liter enthält,
fließt mit der Rate von 3 Liter pro Minute ein und die gut umgerührte Mischung fließt mit
derselben Rate aus.
1. Wieviel Salz ist zu einer beliebigen Zeit in dem Tank?
1. Wieviel Salz ist zu einer beliebigen Zeit in dem Tank?
2. Wann enthält der Tank 25 kg Salz?
325)326) Ein Tank enthält 400 Liter Wasser. Eine Salzlösung, die 0.4 kg Salz pro Liter enthält,
fließt mit der Rate von 20 Liter pro Minute ein und die gut umgerührte Mischung fließt mit
der Rate von 12 Liter pro Minute aus. Wieviel Salz enthält der Tank nach einer Stunde ?
326)28
�327) Man berechne alle möglichen Gleichgewichtszustände der nichtlinearen Differential-
gleichung � �
0 yy′ =
y =y 4 − 0.5y − 1
y+1
und überprüfe sie auf Stabilität.
327)328) Man berechne alle möglichen Gleichgewichtszustände der nichtlinearen Differential-
gleichung � 8y �
y′y0 = −y−1 y
y+1
und überprüfe sie auf Stabilität.
328)329) Man untersuche auch das globale Lösungsverhalten für die Lösungen der Differential-
gleichung aus Beispiel 327328 in der (y, y ′0 )-Phasenebene.
329)330) Die Legendre-Dgl. besitzt die Gestalt
(1 − x2 )y ′′00 − 2xy ′0 + m(m + 1)y = 0, m ∈ R.
28
�WirWir betrachten im folgenden den Fall m = 1. Durch Nachrechnen bestätigt man sofort, daß
y(x) = x eine Lösung der Gleichung ist. Ermitteln Sie mit Hilfe des Ansatzes y(x) = C(x)x
eine zweite, unabhängige Lösung der Differentialgleichung. Wie sieht die allgemeine Lösung
der Differentialgleichung aus?
330)331) Man betrachte die homogene Eulersche Differentialgleichung
x2 y ′′00 + 3xy ′0 + y = 0.
Ermitteln Sie mit Hilfe des Ansatzes y(x) = xr eine Lösung φ1 (x). Eine zweite, unabhängige
Lösung φ2 (x) bestimme man mittels Reduktionsansatz y(x) = u(x)φ1 (x). Beweisen Sie auch
die Unabhängigkeit von φ1 (x) und φ2 (x).
331)332) Man betrachte die inhomogene Eulersche Differentialgleichung
1
x2 y ′′00 + 3xy ′0 + y = .
x
Ermitteln Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
Hinweis: Aus Beispiel 330331 erhält man als Basis des Lösungsraums der homogenen Gleichung
{ x1 , logx x }.
332–333)333–334) Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen, indem Sie diese durch
geeignetes Einsetzen auf lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung zurückführen.
332)
y1′ =−3y1 − y2 + t 3 1
y1 (0) = − , y2 (0) =
y2′ = y1 − y2 + t2 8 8
333)
y1′y10 =−3y1 − y2 + t 3 1
y1 (0) = − , y2 (0) =
y20 = y1 − y2 + t2 8 8
334)
y10 = 7y1 + 4y3
y2′y20 = 8y1 + 3y2 + 8y3
y3′y30 = −8y1 − 5y3
Hinweis: Beachten Sie, daß die erste und dritte Gleichung unabhängig von der zweiten sind.
334)29
�335) Man betrachte das folgende System von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen
erster Ordnung für x1 (t), x2 (t) mit vorgegebenen Anfangswerten:
ẋ1 = x1 − 5x2 + 1, x1 (0) = 0,
ẋ2 = 5x1 + x2 , x2 (0) = 0.
Man löse nun dieses System auf folgende Weise (Eliminationsmethode). Zuerst eliminiere
man x2 aus dem Gleichungssystem: Ableiten von
−ẋ1 + x1 + 1
x2 =
5
und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert für x1 eine lineare Differentialgleichung 2. Ord-
nung mit konstanten Koeffizienten. Man bestimme die allgemeine Lösung dieser Differenti-
algleichung für x1 und danach durch Rücksubstitution auch die allgemeine Lösung für x2 .
Anpassen an die Anfangsbedingungen liefert schließlich die gesuchte Lösung.
335)336) Man finde eine Lösung u(x, y) = f (x) von uxx − uy = 6x und eine Lösung u(x, y) =
g(y) von uxx − uy = −2y. Man ermittle mit Hilfe des Superpositionsprinzips eine Lösung
von
uxx − uy = 18x + 8y.
29
�336)337) Man löse die partielle Differentialgleichung aux + buy = 1 und zeige, dass die Lösung
(für a 6= 0) in der Form
1 b �
u(x, y) = x + C y − x
@@ -1759,17 +1788,16 @@ von
geschrieben werden kann, wo C = C(t) eine beliebig gewählte, differenzierbare Funktion in
einer Variablen ist. Wie lautet die Lösung zur Anfangsbedingung u(x = 0, y) = y 2 + 1?
337–348)338–349) Man löse die folgenden partiellen Differentialgleichungen.
337)338) uxx + ux + x + y = 1
338)339) uxy + ux + x + y = 1, u(x, 0) = 0, u(0, y) = 0.
339)340) uxy + yux = 0, u(x, x) = x2 , ux (x, x) = uy (x, x).
340)341) xux − 2xuy = u, u(1, y) = y 2 .
341)342) (1 + x)ux − (1 + y)uy = 0 342)343) yux − xuy = y 2 − x2
343)344) xyux + uy = xy cos(x) 344)345) x2 ux + yuy + xyu = 1
345)346) 3ux + 2uy − xyu = 0 346)347) ux + 9uy − xu = x
347)348) x2 ux − 2uy − xu = x2 348)349) ux + uy − u = x
349)350) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden partiellen Differentialgleichungen.
(a) xux + 2yuy = 0.
(b) xux − 2yuy + u = ex .
@@ -1778,90 +1806,87 @@ einer Variablen ist. Wie lautet die Lösung zur Anfangsbedingung u(x = 0, y) =
(d) yux − 4xuy = 2xy.
350)351) Bestimmen Sie die Lösung der partiellen Differentialgleichungen aus Beispiel 349350 mit
folgenden entsprechenden Bedingungen.
30
� (a) u(x, 1/x) = x.
(b) u(1, y) = y 2 .
(c) u(x, x) = x2 ex .
(d) u(x, 0) = x4 .
351)352) Gegeben sei die folgende partielle Differentialgleichung:
xux + 2yuy = 0.
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
(b) Bestimmen Sie die Lösung dieser Differentialgleichung, welche die folgende Bedingung
erfüllt:
1�
u x, = x.
x
353) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Rumpf-Differentialgleichung:
ux uy uz
+ + = 0.
x y z
30
�352) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Rumpf-Differentialgleichung:
ux uy uz
+ + = 0.
x y z
353–355)354–356) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden partiellen Differentialgleichun-
gen.
353)354) 9uxx − 1441 uyy = sin x.
354)355) 12ux + 4uy = x.
355)356) u2xx + u2yy = 0 (nur reelle Lösungen.)
356)357) Zeigen Sie, daß zum Lösen der partiellen Differentialgleichung
aux + buy + cuz = f (x, y, z), a, b, c ∈ R
die Substitution
ξ = x, η = bx − ay, ζ = cx − az
zum Ziel führt. Bestimmen Sie damit die allgemeine Lösung der PDG
2ux + 3uy + 4uz = ex+y+z .
357)358) Man finde die allgemeine Lösung u(x, y, z, t) der Differentialgleichung
ut = ux + 2uy − uz .
Welche Lösung erfüllt u(x, y, z, 0) = x2 + y 2 + z 2 ?
358)359) Eliminieren Sie mit Hilfe der Substitution u(x, y) = v(x, y)eλx+µy und geeignete Wahl
von λ und µ die ersten Ableitungen aus der PDG
uxx + uyy + αux + βuy + γu = 0.
Bemerkung: Die entstehende PDG müssen Sie nicht lösen.
359) Wie 358 für die PDG
uxy = αux + βuy .
360)31
�360) Wie 359 für die PDG
uxy = αux + βuy .
361) Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung
1. Ordnung
xux − yuy = xy.
361)362) Man bestimme die allgemeine Lösung der Rumpf-Differentialgleichung
ux + (y + 2z)uy + zuz = 0.
362)363) Man betrachte folgendes System von partiellen Differentialgleichungen für z = z(x, y):
yzx − xzy = 0, zxy = 0.
Man bestimme nun alle Funktionen z(x, y), welche dieses System lösen.
Anleitung: Man bestimme für eine der beiden partiellen Differentialgleichungen die allge-
meine Lösung und setze in die andere Gleichung ein.
31
�363)364) Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden linearen partiellen Differential-
gleichung für u(x, y):
(x2 + 1)ux − 2xyuy + 2xu + 1 = 0.
364)365) Eine Funktion u(x, y) heißt homogen vom Grad n, wenn
u(λx, λy) = λn u(x, y)
@@ -1870,17 +1895,17 @@ eine stetig differenzierbare Funktion ist, genügt sie der linearen partiellen
chung erster Ordnung
xux + yuy = nu.
Wie lautet die allgemeine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung?
365)366) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
yzx − xzy + xyz = 0
sowie jene Lösung, die die Parabel z = y 2 der yz-Ebene enthält.
366)367) Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden quasilinearen Differentialgleichung
für u(x, t) (konservative Burgers-Gleichung):
ut + uux = 0.
367)368) Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden quasilinearen Differentialgleichung
für u(x, y):
(x + u)ux + (y + u)uy + u = 0.
Anleitung: Die durch den Ansatz f (x, y, u) = const erhaltene Rumpf-Differentialgleichung
@@ -1888,28 +1913,28 @@ Anleitung: Die durch den Ansatz f (x, y, u) = const erhaltene Rumpf-Differential
(x + u)fx + (y + u)fy − ufu = 0
führt zum System von Phasen-Differentialgleichungen
dx x+u dy y+u
=− , =− ,
du u du u
32
� x y
welche beide über die Substitution v = u bzw. v = u implizit gelöst werden können.
368)369) Lösen Sie das AWP
ut + u2 ux = 0, u(x, 0) = f (x).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß eine implizite Lösung der Form u = f (x − tg(u)) existiert.
369–376)370–377) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen
369)370) uux + u2 uy − z = 0 370)371) yux − xuy = y 2 − x2
371)372) ux + 3uy = u2 372)373) x2 ux + uuy = 1, u(x, 1 − x) = 0, x > 0
373)374) ux + y 2 uy = cos(u) 374)375) ux − uy = u2
375)376) ux − y 2 uy = u 376)377) xux + uy = eu
377)378) Man klassifiziere die folgenden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
nach hyperbolisch, parabolisch oder elliptisch“’:
”
32
� (a) uxx + 2uxy + uyy + ux + uy = 0,
(b) uxx + 2uxy + 5uyy + ux + u = 0,
@@ -1917,39 +1942,41 @@ nach hyperbolisch, parabolisch oder elliptisch“’:
(d) uxy + xyuyy + uy = 0,
(e) uxx + yuyy + 1221 uy = 0.
378)379) Man klassifiziere die folgenden partiellen Differentialgleichungen nach hyperbolisch,
”
parabolisch oder elliptisch“ und ermittle jeweils eine Normalform:
(a) uxx + 2uxy + uyy + ux + uy = 0, (b) uxx + 2uxy + 5uyy + ux + u = 0,
(c) 3uxx − 8uxy + 4uyy − u = 0, (d) uxy + xyuxx + uy = 0.
379)380) Man bestimme das Gebiet, in dem die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
1
uxx + yuyy + uy = 0
2
hyperbolisch ist, und bestimme weiters die Normalform.
380)381) Bestimmen Sie die Normalform der Differentialgleichung
uxx − uyy + ux + uy + x + y + 1 = 0.
381)382) Man bringe folgende Gleichung auf Normalform und gebe die allgemeine Lösung an:
uxx − 2uxy + uyy = 0.
382)383) Man wähle den Produktansatz u(x, y) = X(x)Y (y) und bestimme damit Lösungen
der folgenden Differentialgleichung:
x2 uxy + 3y 2 u = 0.
383)33
�384) Man bestimme alle Lösungen der Form u(x, y) = X(x)+Y (y) der folgenden partiellen
Differentialgleichung:
9uxx + uyy = 27u.
384)385) Man betrachte die Temperaturverteilung u(x, t) eines Stabes der Länge ℓ,`, welche an
der Stelle 0 ≤ x ≤ ℓ` zur Zeit t ≥ 0 durch die homogene Wärmeleitungsgleichung (mit einer
vom Material abhängigen Konstanten α > 0) beschrieben werden kann:
ut = α2 uxx .
@@ -1957,88 +1984,85 @@ vom Material abhängigen Konstanten α > 0) beschrieben werden kann:
Man löse nun mit Hilfe des Produktansatzes u(x, t) = X(x)T (t) das folgende Rand-Anfangs-
wert-Problem (für eine vorgegebene Funktion f (x)):
u(x, 0) = f (x), für 0 ≤ x ≤ ℓ,`, u(0, t) = u(ℓ,u(`, t) = 0, für t ≥ 0.
385)386) Man berechne die Lösung u(x, t) aus Beispiel 384,385, wenn ℓ` = 2 und die Anfangsbedin-
gung
f (x) = x + (2 − 2x)H(x − 1),
33
�lautet.lautet. (Zeichnen Sie zuerst die antisymetrische 4-periodische Funktion f ; H bezeichnet
dabei die Heaviside Funktion).
386)387) Man finde Lösungen der Potentialgleichung ∆u = uxx +uyy = 0 auf einer Kreisschiebe.
Dazu transformiere man die Gleichung auf Polarkoordinaten und bestimme Lösungen der
transformierten Gleichung mittels eines Produktansatzes. (Anfangs- oder Randbedingungen
sind nicht zu berücksichtigen.)
387)388) Eine Saite, welche eine Schwingungsgleichung mit Parameter c = 1 erfülle, sei in
x = 0 und x = π eingespannt und liege zum Zeitpunkt t = 0 zur Gänze in der x-Achse.
Der Geschwindigkeitszustand zu diesem Zeitpunkt sei durch ut = 43 (sin x + sin(3x)) be-
schrieben. Wie sieht die Gestalt der Saite zu den Zeiten t = π2 , 3π
2 , . . . aus? Wie lassen sich
diese Ergebnisse interpretieren? (Betrachten Sie dazu auch die Geschwindigkeit in diesen
Zeitpunkten)
388)389) Man diskutiere das Gleitkomma-System M(b = 10, n = 4, emin = −9, emax = 9): Zah-
lendarstellung, größte Zahl, kleinste positive normalisierte/denormalisierte Zahl, absolute
Abstände, Anzahl der Maschinenzahlen in M, relative Maschinengenauigkeit. Ferner zeige
man, dass die größte darstellbare Zahl durch fortlaufende Addition von 1 in M nicht erreicht
werden kann.
389)390) In der Menge der Maschinenzahlen M ist die Multiplikation keine assoziative Opera-
tion. Man belege diese Aussage durch ein Beispiel.
390)391) Mit Hilfe der Näherung
∆f (x) xf ′0 (x) ∆x
=
f (x) f (x) x
für den relativen Fehler der Funktion f (x) finde man Fehlerschätzungen für die folgenden
√
Rechenoperationen: f (x) = x, f (x) = ex , f (x) = ln(x) und f (x) = sin(x).
391–393)392–394) Man bestimme mit Hilfe der Bisektion auf drei Dezimalstellen genau die positive
Nullstelle der Funktion f (x) im angegebenen Intervall I:
391)392) f (x) = sin x − x2 , I = [π/2, π].
392)393) f (x) = cos x − x, I = [0, π/2].
34
� π
393)394) f (x) = (tan x)2 − x, |x| < 4394) Lösen Sie Beispiel 391 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi.
395) Lösen Sie Beispiel 392 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi.
396) Lösen Sie Beispiel 393 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi.
397) Lösen Sie Beispiel 394 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi.
397–398)398–399) Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion F (x) = x2 − 1 im Intervall [0, 3],
indem Sie jeweils 3 Schritte der angegebenen Verfahrens durchführen, und vergleichen Sie
die Ergebnisse.
397)398) (a) Bisektion, (b) Regula falsi, (c) Newtonsches Näherungsverfahren (Startwert Inter-
vallende).
398)399) (a) Iterative Fixpunktbestimmung für x = f (x) = (x2 + 3x − 1)/3 (Startwert Inter-
vallende), (b) iterative Fixpunktbestimmung für x = g(x) = (1 + 2x − x2 )/2 (Startwert
Intervallende), (c) wählen Sie eine andere Funktion h(x), sodaß die Gleichung h(x) = x
äquivalent ist zur Gleichung F (x) = 0.
34
�399)400) Man zeige, daß die Funktion ϕ(x) = x − e−x + cos x eine kontrahierende Abbildung
des Intervalls [1.2, 1.3] in sich ist, und berechne den (einzigen) Fixpunkt x∗ dieser Funktion
im angegebenen Intervall (Genauigkeit: zwei Nachkommastellen).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daßdass im angebenen Intervall f ′′ϕ00 (x) < 0 gilt. Was kann man
daraus für f ′ϕ0 (x) schließen? Benutzen Sie dies, um die Kontraktionseigenschaft zu zeigen!
400)401) Gesucht ist eine in der Nähe von
(a) x0 = 3, bzw. (b) x0 = −3
gelegenen Nullstelle der Funktion f (x) = e−x + x2 − 10.
401)402) Nach welcher Zeit t (in Stunden) erreichen die Betriebskosten
B(t) = 10.45t + 0.0016t2 + 17200 1 − e−0.0002t
�
eines Netzwerkrouters den Anschaffunspreis A = 100.000, − ¤ ? Ist die Lösung eindeutig
bestimmt?
Anleitung: Man bilde die Funktion f (t) = B(t) − A, untersuche deren Monotonieverhalten
und bestimme schließlich die gesuchte Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens.
402)403) Man zeige, daß f (x) = x4 − x − 1 in [1, 2] eine Nullstelle hat und bestimme diese
näherungsweise mit (wenigstens) 4 Schritten der Bisektion und der Regula falsi.
403)404) Man ermittle für sämtliche Nullstellen der Funktion f (x) = 3x + 2 sin2 x + 1 Nähe-
rungen, indem man jeweils 4 Schritte des Newtonverfahrens durchführt.
404)405) Man bestimme die Lösungsfolge der beim “Babylonischen Wurzelziehen” auftretenden
Iteration
1� a�
xn+1 = ϕ(xn ) = xn + , n = 0, 1, 2, . . .
@@ -2049,175 +2073,181 @@ Iteration
√
gilt, d.h., die Iterationsfolge (xn ) ist ab n = 1 monoton fallend und nach unten durch a
beschränkt.
405)35
�406) Man zeige: Für a 6=> 0 konvergiert die Iterationsfolge (xn ) gemäß xn+1 = 2xn − ax2n
13
mit 2a < x0 < 2a2a3
gegen den Fixpunkt x∗ = a1 . Diese Iteration stellt somit ein Verfahren
zur Division unter ausschließlicher Verwendung von Multiplikationen dar.
406)407) Sei A = (aij ) ∈ Rm×n eine m × n-Matrix und ~x = (xj ) ∈ Rn ein Vektor. Unter der zu
einer Vektornorm ||~x|| zugehörigen Matrixnorm oder Operatornorm ||A|| versteht man
X ||A~x||
||A|| = = sup ||A~x||.
||~x|| ||~
x||=1
~ x6=0
~
Man zeige (mindestens zwei der nachfolgenden drei Behauptungen):
P
(a) Mit der so genannten Betragssummennorm
P ||~x||||~
x || = i |xi | als Vektornorm erhält man
die Spaltensummennorm ||A|| = max j |aij | als zugehörige Matrixnorm,
j
(b) der so genannten Maximumsnorm ||~x|| = max |xi | entspricht die Zeilensummennorm
P i
||A|| = max i |aij |,
i
35
� qP
(c) zur Euklidischen Norm ||~x|| = 2i xi gehört die Spektralnorm ||A||, d.i. die Wurzel
i xi gehört
des größten Eigenwerts der Matrix AT A.
Anleitung: Die Matrix AT A ist, wie man zeigen kann, stets symmetrisch, positiv se-
midefinit, alle ihre Eigenwerte sind reell und nicht negativ, und es gibt eine Ortho-
normalbasis in Rn aus lauter Eigenvektoren.
Bemerkung: Ist die Matrix A symmetrisch, dann ist die Spektralnorm ||A|| gleich dem
betragsmäßig größten Eigenwert von A.
407)408) Man löse das lineare Gleichungssystem
−0.35x1 +1.5x2 +122.2x3 = 126
105.7x1 −440.9x2 −173.7x3 = −1285
21.5x1 −101.8x2 +33.4x3 = −229
mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens (a) ohne Pivotisierung, (b) mit Pivotisie-
rung bei einer Rechengenauigkeit von 4 signifikanten Stellen.
408)409) Man löse das lineare Gleichungssystem
0.13x1 −45.26x2 = −4500
39.16x1 −64.32x2 = 1400
mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens (a) ohne Pivotisierung, (b) mit Pivotisie-
rung bei einer Rechengenauigkeit von 4 signifikanten Stellen.
409)410) Man vergleiche die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme Ax = b1 , Ax =
b2 mit � � � � � �
3.9 −10.7 −290 −291
A= , b1 = , b2 = .
−9.3 25.5 690 689
Was kann daraus geschlossen werden?
410)411) Man löse das lineare Gleichungssystem
−x1 +5x2 −2x3 = 3
x1 +x2 −4x3 = −9
4x1 −x2 +2x3 = 8
unter36
�unter Anwendung des Gesamtschrittverfahrens von Jacobi, wobei man zunächst die einzel-
nen Gleichungen derart umordne, daß das entstehende System das Zeilensummenkriterium
erfüllt.
411)412) Man bestimme die Lösung des Gleichungssystems aus Beispiel 410)411) mit Hilfe des
Einzelschrittverfahrens von Gauß-Seidel.
412)413) Man löse das lineare Gleichungssystem
−x1 +5x2 −2x3 = 3
x1 +x2 −4x3 = −9
4x1 −x2 +2x3 = 8
unter Anwendung des Gesamtschrittverfahrens von Jacobi sowie des Einzelschrittverfahrens
von Gauß-Seidel, wobei man zunächst die einzelnen Gleichungen derart umordne, dass das
entstehende System das Zeilensummenkriterium erfüllt.
413)414) Man zeige: Die Anzahl der Punktoperationen zur Lösung eines linearen Gleichungs-
systems mit n Gleichungen und n Unbekannten beträgt
36
� (a) (n2 −1)n!+n bei Anwendung der Cramerschen Regel, (Hinweis: Die Auswertung einer
n × n-Determinante erfordert (n − 1)n! Multiplikationen.)
n 2
(b) 3 (n + 3n − 1) beim Eliminationsverfahren von Gauß,
(c) n2 pro Schritt für das Iterationsverfahren von Jacobi oder Gauß-Seidel.
414)415) Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Weltbevölkerung (in Milliarden) in den
Jahren 1950 bis 1990 wieder:
Jahr t 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Bevölkerung f (t) 2.5 3 3.6 4.4 5.3 ?
Man finde eine Trendfunktion der Form g(t) = ceat und extrapoliere die Bevölkerungszahl
für das Jahr 2000.
Hinweis: Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Wertepaare (t, ln g(t)) nach der Me-
thode der kleinsten Quadrate.
415)416) Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Weltbevölkerung (in Milliarden) seit
dem Jahr 1950 wieder:
Jahr t 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Bevölkerung f (t) 2.53 3.04 3.70 4.45 5.31 6.12 6.90
Man finde eine Trendfunktion der Form g(t) = ceat und extrapoliere die Bevölkerungszahl
für das Jahr 2020.
Hinweis: Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Wertepaare (t, ln g(t)) nach der Me-
thode der kleinsten Quadrate.
416)417) Gegeben sind die Wertepaare (xi , yi ) mit 1 ≤ i ≤ n. In manchen Problemstellungen
ist von vorneherein bekannt, daß die zugrundeliegende Funktion durch den Ursprung gehen
muß. Im Falle der Approximation durch eine Gerade kann man dann den Ansatz y = bx
verwenden. Man ermittle nun, wie dabei b gewählt werden muß, wenn man nach der Methode
der kleinsten Quadrate vorgeht. D.h., man minimiere die Quadratsumme
n
X
Q(b) = (yi − bxi )2 .
i=1
417)37
�418) Im Rahmen der Polynominterpolation spielt die Vandermonde’sche Matrix
1 x0 x20 . . . xn0
1 x1 x2 . . . xnx n
1 1
V (x0 , x1 , . . . , xn ) = . ... . . ..
.. . . ..
.. .. . . .
1 xn x2n . . . xnn
eine wichtige Rolle. Man zeige, dass für ihre Determinante gilt:
Y
det(V ) = (xj − xi ).
0≤i<j≤n
418)419) Der Gebrauchswert einer Maschine betrage nach zwei Jahren noch 50%, nach vier
Jahren noch 25% des Anschaffungspreises. Man gebe ein Polynom p(t) zweiten Grades
als Funktion der Nutzungsdauer t an, das mit diesen empirischen Daten übereinstimmt
37
�undund für t = 0 den Wert 100 (Neuwert mit 100%) annimmt. Ferner vergleiche man die
Erfahrungswerte von 70% Gebrauchtwert nach einem Jahr und 35% nach drei Jahren mit
den entsprechenden p-Werten.
419)420) Man bestimme das Interpolationspolynom dritten Grades zu den Interpolationsstellen
(0, 180), (2, 240), (4, 320) und (6, 360) durch Lagrange-Interpolation.
420)421) Man löse das Interpolationsproblem aus Beispiel 419420 unter Anwendung des Newton-
schen Interpolationsverfahrens. Wie lauten die Funktionswerte des Interpolationspolynoms
an den Stellen x = 1, 3, 5?
421)422) Wie lautet die natürliche kubische Splinefunktion, welche die Wertepaare aus Bei-
spiel 419420 interpoliert? Man vergleiche die Funktionswerte für x = 1, 3, 5 mit denen des
kubischen Interpolationspolynoms.
422)423) Bestimmen Sie die Lagrange-Polynome Li (x) und das quadratische Interpolationspo-
lynom für die Datenpunkte
x 1 2 3
y -1 -2 3
423)424) Bestimmen Sie die Lagrange-Polynome Li (x) und das quadratische Interpolationspo-
lynom für die Datenpunkte
x 0 1 4
y 2 -2 1
424)425) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom für die Datenpunkte
x 0 1 2 3
y 1 0 3 2
mit Hilfe der Newton-Interpolation.
425)426) Mit Hilfe der Sehnentrapezformel berechne man π aus der Gleichung
Z 1
dx
π=42 .
0 1+x1 + x2
Dabei verwende man eine Unterteilung des Integrationsintervalls in 2, 5 und 10 Teilinter-
valle.
426)38
�427) Aus der Gleichung in Beispiel 425426 berechne man π unte Anwendung (a) der Kep-
ler’schen Fassregel bzw. (b) der Simpson’schen Regel bei Unterteilung des Integrationsin-
tervalls in 10 Teilintervalle.
427)428) Mit Hilfe der (a) Sehnentrapezregel sowie (b) Simpson’schen Regel berechne man
näherungsweise π aus der Gleichung
Z1
π dx
@@ -2227,7 +2257,7 @@ näherungsweise π aus der Gleichung
Dabei verwende man eine Unterteilung des Integrationsintervalls bei (a) in 2, 5 und 10
Teilintervalle, bei (b) in 10 Teilintervalle.
428)429) Man bestimme näherungsweise das Integral
Z π
sin x
2
@@ -2235,56 +2265,60 @@ Teilintervalle, bei (b) in 10 Teilintervalle.
0 1+x
38
�429)430) Mittels der Kepler’schen Fassregel kann das Volumen von Rotationskörpern (z.B. von
Fässern) näherungsweise berechnet werden, falls deren Querschnitt an drei Stellen bekannt
ist. Man zeige, dass man dabei für (a) den Zylinder, (b) Kegel und (c) Kegelstumpf sowie
(d) das Rotationsparaboloid das genaue Volumen erhält.
430)431) In nachstehender Tabelle sind die Grenzbetriebskosten k(t) einer Maschine bei einer
Arbeitsleistung von t Betriebsstunden
R T angegeben. Man bestimme daraus näherungsweise
die Gesamtbetriebskosten K(T ) = 0 k(t)dt für T = 100.
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
k(t) 0.50 0.67 0.85 1.02 1.18 1.33 1.48 1.60 1.75 1.92 2.12
431)432) Für das Anfangswertproblem
y ′0 (x) = 1 + x − y 3 , y(0) = 0
bestimme man die Lösung an der Stelle x = 1 nach dem Euler’schen Polygonzugverfahren,
und zwar für die Schrittweiten (a) h = 0.25 sowie (b) h = 0.1.
432)433) Man verbessere die in Beispiel 431432 erhaltene Näherungslösung für die Schrittweite
h = 0.25 durch Anwendung (a) des verbesserten Eulerverfahrens bzw. (b) des Runge-Kutta-
Verfahrens.
433)434) Man finde näherungsweise die Lösung der Differentialgleichung y ′0 (x) = 2xy zum An-
fangswert y(0) = 2 an der Stelle x = 1 und vergleiche den erhaltenen Wert mit der exakten
2
Lösung y(x) = 2 · ex .
434)435) Man berechne für y ′0 = x + y 2 und die Anfangsbedingung y(0) = 1 mit dem Polygon-
zugverfahren die Werte y(0.1) und y(0.2).
435)436) Man bestimme für die Differentialgleichung y ′0 = axy mit a ∈ R für a = −2, a = −1
und a = 1 je 3 Strecken des Eulerschen Polygonzugs beginnend bei P (1, 1) mit Schrittweite
∆x = 1.
436)437) Gegeben sei das AWP y ′0 = x − y, y(0) = 1. Man berechne die exakte Lösung und
ermittle anschließend, wie groß n (Anzahl der Teilintervalle) gewählt werden muß, damit
der39
�der relative Fehler beim Polygonzugverfahren für y(x) an der Stelle x = 1 maximal 15%
beträgt.
437)438) Konstruieren Sie zum AWP y ′0 = αy, y(0) = y0 den Eulerschen Polygonzug En mit
der Schrittweite h = ξ/n auf dem Intervall [0, ξ] (mit einem festen ξ > 0)und zeigen Sie,
daß En (ξ) → y0 eαξ für n → ∞.
438)439) In Analogie zu Beispiel 437:438: Konstruieren Sie zum AWP y ′0 = 1 + y, y(0) = y0 den
Eulerschen Polygonzug En mit der Schrittweite h = ξ/n auf dem Intervall [0, ξ] (mit einem
festen ξ > 0)und zeigen Sie, daß En (ξ) → y0 eαξ für n → ∞. Konvergiert nun En (ξ) ebenfalls
gegen die exakte Lösung der Differentialgleichung?
439)440) Berechnen Sie vierstellige Runge-Kutta-Näherungswerte y1 , y2 für die Lösung der
Anfangswertaufgabe y ′0 = x2 + y 2 , y(0) = 1, an den Stellen x1 = 0.1 und x2 = 0.2.
440)441) Man vergleiche das Euler-Verfahren und das Verfahren von Runge-Kutta für das AWP
y ′0 = 1 + xy , y(1) = 1 an der Stelle x = 1.6, wobei n = 3 gewählt werden soll. Lösen Sie das
AWP auch exakt und ermittle jeweils den relativen Fehler für die einzelnen Verfahren.
Anmerkung: Nach Möglichkeit programmiere man die einzelnen Verfahren. Wenn “mit der
Hand” gerechnet werden muß, wählen Sie n = 1.
3940
�