TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 366

Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung

$yu_{x}-xu_{y}+xyu=0$,

welche die Parabel $u=y^{2}$ in der $(y,u)$-Ebene enthält.

Lösungsvorschlag

$a(x,y)=y$

$b(x,y)=-x$

$c(x,y)=xy$

$d(x,y)=0$

Die Rumpf-Differentalgleichung lautet:

$yu_{x}-xu_{y}=0$

Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem

${\dot {x}}=y$ und ${\dot {y}}=-x$

welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {x}{y}}$

Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung

${\frac {y^{2}}{2}}=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\tilde {c}}_{1}$ bzw. $c_{1}=x^{2}+y^{2}$

Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:

$\varphi _{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}$

Führt man nun die Substitution $\xi (x,y)=\varphi _{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}$ und das frei gewählte $\;\eta (x,y)=x$ ein, so erhält man für die Funktion $\;U(\xi ,\eta )=u(x,y)$ die gewöhnliche Differenzialgleichung

${\begin{aligned}(a(x,y)\eta _{x}+b(x,y)\eta _{y})U_{\eta }+c(x,y)U+d(x,y)&=0\\(y\eta _{x}-x\eta _{y})U_{\eta }+xyU+0&=0\\\left({\frac {\eta _{x}}{x}}-{\frac {\eta _{y}}{y}}\right)U_{\eta }+U&=0\\\left({\frac {1}{x}}-{\frac {0}{y}}\right)U_{\eta }+U&=0\\{\frac {U_{\eta }}{\eta }}+U&=0\\U_{\eta }+\eta U&=0\end{aligned}}$

Diese Differenzialgleichung liefert:

${\begin{aligned}U_{\eta }+\eta U&=0\\{\frac {U_{\eta }}{U}}&=-\eta \\\ln U&=-{\frac {\eta ^{2}}{2}}+C\\U(\xi ,\eta )&=e^{-{\frac {\eta ^{2}}{2}}}\cdot C(\xi )\end{aligned}}$

Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung:

$u(x,y)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot C(x^{2}+y^{2})$

Mit der Anfangsbedingun $u(0,y)=y^{2}$ folgt dann mittels $C(z)=z$ als spezielle Lösung

$u(x,y)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot (x^{2}+y^{2})$