TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 79

$B$ sei der durch $x=4$, $y=1$ und $x+2y=2$ berandete beschränkte Bereich der $(x,y)$-Ebene. Man berechne $\iint _{B}12x^{2}y^{3}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

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Theoretische Grundlagen: Gebietsintegral

Zwei Funktionen $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$, welche ein Gebiet begrenzen ($\varphi _{1}$ "oben", $\varphi _{2}$ "unten") sind die Grenzen für die zu berechnende Fläche. Diese Funktionen seien explizit in der Form $y=\dots$ gegeben.

Die niedrigere "x-Grenze" des Flächenstücks sei durch $t_{2}$ gegeben, die höhere durch $t_{1}$.

Nun gilt für das Gebietsintegral folgende Formel: $\int _{t_{2}}^{t_{1}}\int _{\varphi _{2}}^{\varphi _{1}}f(x,y)\,\,dy\,\,dx$

Lösungvorschlag

$x+2y=2\Rightarrow x=2-2y$

$x=2-2y=4\Rightarrow y=-1$