TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 80

Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral: $\iint _{B}(y-x)\,dx\,dy$, wobei $B\in \mathbb {R} ^{2}$

das durch die Punkte (0,0), (1,1), (1,−2) und (4,3) festgelegte konvexe Viereck sei.

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Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 15:00, 6. Okt. 2021 (CEST)

Zuerst teile ich den gesamten Bereich $ABDC$ mit $A=(0,0),\,B=(1,1),\,C=(1,-2),\,D=(4,3)$ in 4 rechtwinkelige Dreiecke. Dazu definiere ich mir zwei Hilfspunkte $X=(1,0)$ und $Y=(1,3)$.

$\iint _{B}(y-x)\,dx\,dy=ABX+AXC+CYD-BYD$

$ABX=\int _{0}^{2}\int _{0}^{y}(y-x)\,dx\,dy=\int _{0}^{2}\left[xy-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}\,dy=\int _{0}^{2}\left((y^{2}-{\frac {y^{2}}{2}})-0\right)\,dy=\left[{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {y^{3}}{6}}\right]_{0}^{2}={\frac {8}{3}}-{\frac {8}{6}}={\frac {8}{6}}$

$AXC=\int _{0}^{-2}\int _{0}^{-y/2}(y-x)\,dx\,dy=\int _{0}^{-2}\left[xy-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{-y/2}\,dy=\int _{0}^{-2}{\frac {-y^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{8}}\,dy=\left[{\frac {-1}{2}}{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {1}{8}}{\frac {y^{3}}{3}}\right]_{0}^{-2}={\frac {8}{6}}-{\frac {-8}{24}}={\frac {40}{24}}={\frac {10}{6}}$

$CYD=\int _{-2}^{3}\int _{1}^{3/5*(y+2)+1}(y-x)\,dy\,dx=\int _{-2}^{3}\left[xy-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{3/5*(y+2)+1}\,dy=\int _{-2}^{3}\left(\left(\left({\frac {3}{5}}\cdot (y+2)+1\right)y-{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{5}}\cdot (y+2)+1\right)^{2}\right)-\left(y-{\frac {1}{2}}\right)\right)\,dy$

$=\int _{-2}^{3}\left({\frac {3y^{2}+6y}{5}}+\not y-{\frac {1}{2}}\left({\frac {3y}{5}}+{\frac {11}{5}}\right)^{2}-\not y+{\frac {1}{2}}\right)\,dy=\int _{-2}^{3}\left({\frac {3y^{2}+6y}{5}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {9y^{2}}{25}}+{\frac {66y}{25}}+{\frac {121}{25}}\right)+{\frac {1}{2}}\right)\,dy$

$=\int _{-2}^{3}\left({\frac {30y^{2}+60y}{50}}-{\frac {9y^{2}+66y+121}{50}}+{\frac {25}{50}}\right)\,dy=\int _{-2}^{3}\left({\frac {21y^{2}-6y-96}{50}}\right)\,dy$

$\left[{\frac {21}{50}}{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {6}{50}}{\frac {y^{2}}{2}}-{\frac {96}{50}}y\right]_{-2}^{3}={\frac {567}{150}}-{\frac {54}{100}}-{\frac {288}{50}}-\left({\frac {-168}{150}}-{\frac {24}{100}}+{\frac {192}{50}}\right)={\frac {189-27-288}{50}}-{\frac {-56-12+192}{50}}={\frac {-126}{50}}-{\frac {124}{50}}={\frac {-250}{50}}=-5$

$BYD=\int _{1}^{3}\int _{1}^{3/2*(y-1)+1}(y-x)\,dy\,dx=\int _{-2}^{3}\left[xy-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{3/2*(y-1)+1}\,dy=\int _{-2}^{3}\left(\left(\left({\frac {3}{2}}\cdot (y-1)+1\right)y-{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{2}}\cdot (y-1)+1\right)^{2}\right)-\left(y-{\frac {1}{2}}\right)\right)\,dy$

$=\int _{-2}^{3}\left({\frac {3y^{2}-3y}{2}}+\not y-{\frac {1}{2}}\left({\frac {3y}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\not y+{\frac {1}{2}}\right)\,dy=\int _{-2}^{3}\left({\frac {12y^{2}-12y}{8}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {9y^{2}}{4}}-{\frac {6y}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+{\frac {4}{8}}\right)\,dy$

$=\int _{-2}^{3}\left({\frac {12y^{2}-12y}{8}}-{\frac {9y^{2}-6y+1}{8}}+{\frac {4}{8}}\right)\,dy=\int _{-2}^{3}\left({\frac {3y^{2}-6y+3}{8}}\right)\,dy$

$=\left[{\frac {3}{8}}{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {3\cdot \not 2}{8}}{\frac {y^{2}}{\not 2}}+{\frac {3}{8}}y\right]_{-2}^{3}={\frac {3}{8}}\left({\frac {27}{3}}-9+3-\left({\frac {-8}{3}}-4-2\right)\right)={\frac {3}{8}}\left(\not 9-\not 9+3+{\frac {8}{3}}+6\right)={\frac {3}{8}}\left(9+{\frac {8}{3}}\right)=4+{\frac {3}{8}}$

$\iint _{B}(y-x)\,dx\,dy={\frac {8}{6}}+{\frac {10}{6}}-5-\left(4+{\frac {3}{8}}\right)=-6-{\frac {3}{8}}$

Das schaut zwar schön aus, aber ich könnt mir nicht vorstellen, dass es stimmt. 😅