TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 80

Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral: ${\iint }_B(y-x)dxdy$, wobei $B\in {ℝ}^2$

das durch die Punkte (0,0), (1,1), (1,−2) und (4,3) festgelegte konvexe Viereck sei.

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Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 15:00, 6. Okt. 2021 (CEST)

Zuerst teile ich den gesamten Bereich $ABDC$ mit $A=(0,0),B=(1,1),C=(1,-2),D=(4,3)$ in 4 rechtwinkelige Dreiecke. Dazu definiere ich mir zwei Hilfspunkte $X=(1,0)$ und $Y=(1,3)$.

${\iint }_B(y-x)dxdy=ABX+AXC+CYD-BYD$

$ABX={\int }_0^2{\int }_0^y(y-x)dxdy={\int }_0^2{[xy-\frac{x^2}{2}]}_0^{y}dy={\int }_0^2((y^2-\frac{y^2}{2})-0)dy={[\frac{y^3}{3}-\frac{y^3}{6}]}_0^2=\frac{8}{3}-\frac{8}{6}=\frac{8}{6}$

$AXC={\int }_0^{-2}{\int }_0^{-y/2}(y-x)dxdy={\int }_0^{-2}{[xy-\frac{x^2}{2}]}_0^{-y/2}dy={\int }_0^{-2}\frac{-y^2}{2}-\frac{y^2}{8}dy={[\frac{-1}{2}\frac{y^3}{3}-\frac{1}{8}\frac{y^3}{3}]}_0^{-2}=\frac{8}{6}-\frac{-8}{24}=\frac{40}{24}=\frac{10}{6}$

$CYD={\int }_{-2}^3{\int }_1^{3/5\ast (y+2)+1}(y-x)dydx={\int }_{-2}^3{[xy-\frac{x^2}{2}]}_1^{3/5\ast (y+2)+1}dy={\int }_{-2}^3(((\frac{3}{5}\cdot (y+2)+1)y-\frac{1}{2}{(\frac{3}{5}\cdot (y+2)+1)}^2)-(y-\frac{1}{2}))dy$

$={\int }_{-2}^3(\frac{3y^2+6y}{5}+y-\frac{1}{2}{(\frac{3y}{5}+\frac{11}{5})}^2-y+\frac{1}{2})dy={\int }_{-2}^3(\frac{3y^2+6y}{5}-\frac{1}{2}(\frac{9y^2}{25}+\frac{66y}{25}+\frac{121}{25})+\frac{1}{2})dy$

$={\int }_{-2}^3(\frac{30y^2+60y}{50}-\frac{9y^2+66y+121}{50}+\frac{25}{50})dy={\int }_{-2}^3\left(\frac{21y^2-6y-96}{50}\right)dy$

${[\frac{21}{50}\frac{y^3}{3}-\frac{6}{50}\frac{y^2}{2}-\frac{96}{50}y]}_{-2}^3=\frac{567}{150}-\frac{54}{100}-\frac{288}{50}-(\frac{-168}{150}-\frac{24}{100}+\frac{192}{50})=\frac{189-27-288}{50}-\frac{-56-12+192}{50}=\frac{-126}{50}-\frac{124}{50}=\frac{-250}{50}=-5$

$BYD={\int }_1^3{\int }_1^{3/2\ast (y-1)+1}(y-x)dydx={\int }_{-2}^3{[xy-\frac{x^2}{2}]}_1^{3/2\ast (y-1)+1}dy={\int }_{-2}^3(((\frac{3}{2}\cdot (y-1)+1)y-\frac{1}{2}{(\frac{3}{2}\cdot (y-1)+1)}^2)-(y-\frac{1}{2}))dy$

$={\int }_{-2}^3(\frac{3y^2-3y}{2}+y-\frac{1}{2}{(\frac{3y}{2}-\frac{1}{2})}^2-y+\frac{1}{2})dy={\int }_{-2}^3(\frac{12y^2-12y}{8}-\frac{1}{2}(\frac{9y^2}{4}-\frac{6y}{4}+\frac{1}{4})+\frac{4}{8})dy$

$={\int }_{-2}^3(\frac{12y^2-12y}{8}-\frac{9y^2-6y+1}{8}+\frac{4}{8})dy={\int }_{-2}^3\left(\frac{3y^2-6y+3}{8}\right)dy$

$={[\frac{3}{8}\frac{y^3}{3}-\frac{3\cdot 2}{8}\frac{y^2}{2}+\frac{3}{8}y]}_{-2}^3=\frac{3}{8}(\frac{27}{3}-9+3-(\frac{-8}{3}-4-2))=\frac{3}{8}(9-9+3+\frac{8}{3}+6)=\frac{3}{8}(9+\frac{8}{3})=4+\frac{3}{8}$

${\iint }_B(y-x)dxdy=\frac{8}{6}+\frac{10}{6}-5-(4+\frac{3}{8})=-6-\frac{3}{8}$

Das schaut zwar schön aus, aber ich könnt mir nicht vorstellen, dass es stimmt. 😅