TU Wien:Analysis 2 VO (Karigl)/Prüfung 2015-09-28

Beispiel 1

Man bestimme mit Hilfe der Methode der Lagrangschen Multiplikatoren das Minimum der Funktion $f(x,y,z)=xy+2xz+2yz$ unter der Nebenbedingun $xyz=108$, wobei nur positive Lösungen beachtet werden sollen.

Lösung: https://web.archive.org/web/20180730222703/https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=230966&post_id=1682212

Beispiel 2

Berechnen Sie das Bereichsintegral gemäß

${\iint }_B{x}^2\sqrt{1-y}dydx={\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=1-x^2}{x}^2\sqrt{1-y}dydx$

Wie sieht der Bereich $B$ aus, machen Sie eine Skizze? Kann die Integrationsreihenfolge vertauscht werden? Geben Sie gegebenenfalls das Doppelintegral mit den entsprechenden Grenzen an.

Beispiel 3

Man löse die lineare partiell Differentialgleichung $3u_x-4u_y=\cos (x+y)$ für $u=u(x,y)$ mittels der Charakteristikenmethode.

Beispiel 4

Rechenregeln für Fourierreihen:

• Geben Sie allgemein die Fourierreihe $\hat{f}(t)$ für eine $2\pi$-periodische, stückweise stetige Funktion $f(t)$ in Sinus-Cosinus-Form und in Exponentialform an. Wie werden die darin auftretenden Fourierkoeffizenten bestimmt?
• Nennen Sie drei Rechenregeln für Fourierreihen.
• Skizzieren Sie den Beweis für eine der angegebenen Rechenregeln.

Beispiel 5

Zur Numerik linearer Gleichungssystem:

• Worin besteht der Nachteil des gewöhnlichen Gauß'schen Eliminationsverfahrens? Welche Möglichkeit der Verbesserung gibt es?
• Wie funktioniert das Gesamtschrittverfahren von Jacobi? Illustrieren Sie dieses Verfahren anhand eines selbst gewählten $2\times 2$ Gleichungssystems, indem Sie den ersten Schritt der Verfahrens vorführen.