TU Wien:Analysis 2 VO (Müllner)/Pruefung-2023-26-01

Aufgabe 1: (20 Punkte)

a) (12 Punkte)

Zeigen, dass eine Stammfunktion existiert und alle Stammfunktionen berechnen.

Vektorfeld $u(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2x\cdot cos(y)\\-x^{2}\cdot sin(y)+2yz\\y^{2}+3z^{2}\end{array}}\right)$

b) (8 Punkte)

Kurvenintegral des Vektorfeld $u$ entlang selbstgewähltem Weg von $(0,0,0)$ bis $(1,\pi ,2)$

(Tipp von mir: Das Kurvenintegral ist wegunabhängig. Es reicht also $F(1,\pi ,2)-F(0,0,0)$ zu rechnen.)

Aufgabe 2: (20 Punkte)

$y''(x)-4y'(x)+4y(x)=3e^{x}+4$

Allgemeine Lösung sowie Lösung für die Anfangswerte $y(0)=6,y'(0)=6$

(Darf entweder mit Ansatzmethode oder Laplace-Transformation gelöst werden)

$f(t)$	$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$
1	${\frac {1}{s}}$, $s>0$
$e^{\alpha t}$	${\frac {1}{s-\alpha }}$, $s>\alpha \in \mathbb {R}$
$cos(\omega t)$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$, $s>0$
$sin(\omega t)$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$, $s>0$
$t^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$, $n\geq 0$

Aufgabe 3: (20 Punkte)

Es gelte $u(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}u(x,y)$. Daraus schließe man $xu_{x}+yu_{y}=nu$

Hinweis: Nach $\lambda$ differenzieren und dann $\lambda =1$ setzen.

Dann allgemeine Lösung der Differenzialgleichung finden.

Aufgabe 4: (20 Punkte)

Fouriertransformation

${\mathcal {F}}:f(t)\rightarrow {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$

( $f$ absolut integrierbar, $\omega \in \mathbb {R}$ ) beweise man folgende Rechenregeln:

• ${\overline {f(t)}}\rightarrow {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}}$ und $f(t-a)\rightarrow e^{-i\omega a}{\hat {f}}(\omega )(a\in \mathbb {R} )$

• Zwei weitere Rechenregeln (ohne Beweis) angeben.

Aufgabe 5: (20 Punkte)

Gesamtschrifftverfahren von Jacobi anhand eines selbst gewählten Beispiel illustrieren sowie eine Bedingung die sicherstellt, dass das Verfahren konvergiert.