TU Wien:Analysis 2 VO (Müllner)/Pruefung-2023-26-01

Aufgabe 1: (20 Punkte)

a) (12 Punkte)

Zeigen, dass eine Stammfunktion existiert und alle Stammfunktionen berechnen.

Vektorfeld $u(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}2x\cdot cos(y)\\ -x^2\cdot sin(y)+2yz\\ y^2+3z^2\end{array}\right)$

b) (8 Punkte)

Kurvenintegral des Vektorfeld $u$ entlang selbstgewähltem Weg von $(0,0,0)$ bis $(1,\pi ,2)$

(Tipp von mir: Das Kurvenintegral ist wegunabhängig. Es reicht also $F(1,\pi ,2)-F(0,0,0)$ zu rechnen.)

Aufgabe 2: (20 Punkte)

$y^{″}(x)-4y^{\prime }(x)+4y(x)=3e^x+4$

Allgemeine Lösung sowie Lösung für die Anfangswerte $y(0)=6,y^{\prime }(0)=6$

(Darf entweder mit Ansatzmethode oder Laplace-Transformation gelöst werden)

$f(t)$	$F(s)=ℒ\{f(t)\}$
1	$\frac{1}{s}$, $s>0$
$e^{\alpha t}$	$\frac{1}{s-\alpha }$, $s>\alpha \in ℝ$
$cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$, $s>0$
$sin(\omega t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$, $s>0$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$, $n\ge 0$

Aufgabe 3: (20 Punkte)

Es gelte $u(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}u(x,y)$. Daraus schließe man $x{u}_x+y{u}_y=nu$

Hinweis: Nach $\lambda$ differenzieren und dann $\lambda =1$ setzen.

Dann allgemeine Lösung der Differenzialgleichung finden.

Aufgabe 4: (20 Punkte)

Fouriertransformation

$ℱ:f(t)\to \hat{f}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt$

( $f$ absolut integrierbar, $\omega \in ℝ$ ) beweise man folgende Rechenregeln:

• $\overline{f(t)}\to \overline{\hat{f}(-\omega )}$ und $f(t-a)\to e^{-i\omega a}\hat{f}(\omega )(a\in ℝ)$

• Zwei weitere Rechenregeln (ohne Beweis) angeben.

Aufgabe 5: (20 Punkte)

Gesamtschrifftverfahren von Jacobi anhand eines selbst gewählten Beispiel illustrieren sowie eine Bedingung die sicherstellt, dass das Verfahren konvergiert.