TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 106

Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass

${\binom {3n}{n}}\sim \left({\frac {27}{4}}\right)^{n}{\sqrt {\frac {3}{4\pi n}}}$.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

Stirling-Formel: $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

oder: $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;n^{n}\;{\mathrm {e} }^{-n}$

${\binom {3n}{n}}={\frac {(3n)!}{(3n-n)!\;n!}}\sim {\frac {3^{3n}\;n^{3n}\;e^{-3n}\;{\sqrt {6\pi n}}}{2^{2n}\;n^{2n}\;e^{-2n}\;{\sqrt {4\pi n}}\;n^{n}\;e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}}={\frac {3^{3n}\;{\sqrt {3}}}{2^{2n}\;{\sqrt {4\pi n}}}}=\left({\frac {27}{4}}\right)^{n}{\sqrt {\frac {3}{4\pi n}}}$

q.e.d.