TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 106

Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{n})\sim {\left(\frac{27}{4}\right)}^n\sqrt{\frac{3}{4\pi n}}$.

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Lösungsvorschlag

Stirling-Formel: $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n$

oder: $n!\sim \sqrt{2\pi n}{n}^n{\mathrm{e}}^{-n}$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{n})=\frac{(3n)!}{(3n-n)!n!}\sim \frac{3^{3n}{n}^{3n}{e}^{-3n}\sqrt{6\pi n}}{2^{2n}{n}^{2n}{e}^{-2n}\sqrt{4\pi n}{n}^n{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}}=\frac{3^{3n}\sqrt{3}}{2^{2n}\sqrt{4\pi n}}={\left(\frac{27}{4}\right)}^n\sqrt{\frac{3}{4\pi n}}$

q.e.d.