TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 107

Bestimmen Sie die Größenordnungen von

1. (a) $\mathrm{2,7}{n}^2-\mathrm{0,5}n+1$
2. (b) $\mathrm{0,35}\cdot 2^n+5n^5$
3. (c) $\sqrt{1+\mathrm{1,1}{n}^2}$

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Hilfreiches

Landau-Symbole

Seien $(a_n{)}_{n\ge 0}$ und $(b_n{)}_{n\ge 0}$ Folgen. Dann schreibt man für $n\to \mathrm{\infty }$:

1. (i) $a_n=O(b_n)$, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass $\left|\frac{a_n}{b_n}\right|\le C$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gilt.
2. (ii) $a_n=o(b_n)$, falls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$ gilt.
3. (iii) $a_n\sim b_n$, falls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=1$ gilt.

  (Definition 4.62)

Lösungsvorschlag von Manül

(a)

$\mathrm{2,7}{n}^2-\mathrm{0,5}n+1=n^2(\mathrm{2,7}-\frac{\mathrm{0,5}}{n}+\frac{1}{n^2})\le C\cdot n^2$ mit $C=\mathrm{2,7}$

$\Rightarrow O(n^2)$

$\frac{2,7}{n}-\frac{0,5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\to 0$ für $n\to \mathrm{\infty }$

$\Rightarrow o(n^3)$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{2,7}{n}^2-0.5n+1}{\mathrm{2,7}{n}^2}=1-\frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{2,7}n}+\frac{1}{\mathrm{2,7}{n}^2}\to 1$

$\Rightarrow \sim \mathrm{2,7}{n}^2$

(b)

$\frac{\mathrm{0,35}\cdot 2^n+5n^5}{2^n}\to 1$

$\Rightarrow O(2^n)$

Anmerkung: $2^n$ wächst schneller als $5n^5$

(c)

$\sqrt{1+\mathrm{1,1}{n}^2}=n\sqrt{\frac{1}{n^2}+\mathrm{1,1}}\to O(n)$

oder $\sim \sqrt{\mathrm{1,1}}n$

Manül 13:39, 17. Jun 2008 (CEST)