TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 14

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Sei eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen , gibt, die für alle erfüllen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nullfolgen sind Folgen, die zu 0 konvergieren.

Lösung von Aeroleeds[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung laut Übungsbesprechung - --Aeroleeds 21:15, 23. Mär. 2012 (CET)

Habe mir erlaubt, die im obigen PDF recht kompakt ausgeführt ist, im Folgenden etwas ausführlicher zu begründen bzw. herzuleiten. (Ich habe nicht gleich verstanden, wieso diese recht komplexe Formel notwendig ist bzw. wie ich das dann in der Übung erklären soll, vielleicht geht es anderen auch so) --Literallie (Diskussion) 23:36, 12. Mär. 2018 (CET)

Da wir zu keine einschränkenden Bedingungen haben, bietet es sich an, die zu konstruierenden Folgen davon abhängig zu machen, und dann so hinzubiegen, dass sich der Rest wegkürzt und nur mehr etwas wie übrig bleibt.

Die offensichtlichste Art, eine Nullfolge zu konstruieren, ist, durch eine Folge zu dividieren, die gegen konvergiert und stets größer ist. Wir wissen nichts über , können aber auf zurückgreifen. Das bedeutet, wir können festlegen (unter Vermeidung der Division durch 0):


Jetzt fehlt noch, dass der Zähler immer betragsmäßig größer sein muss als der Nenner. Wieder wissen wir nichts über , daher werden wir es selbst verwenden. Wir müssen schauen, dass der Nenner nicht Null werden kann. Da auch 0 oder negativ sein kann, bieten sich hier Betrag und an.


Der untere Ausdruck konvergiert offensichtlich gegen , da (streng monoton wachsend) mit einem positiven Wert multipliziert wird. Daher handelt es sich um eine Nullfolge.

Jetzt brauchen wir das nur mehr quasi umzudrehen, um auf zu kommen:


Das ist mit dem selben Argument wie oben auch eine Nullfolge. (Alles andere wär leicht unangenehm)

Beweis.

Ich habe das Beispiel mit diesem Narrativ in der Übungsstunde präsentiert und es hat gepasst --Literallie (Diskussion) 13:23, 19. Mär. 2018 (CET)

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