TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 177

Man beweise die Formel $\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh (x)\sinh (y)$.

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Hilfreiches

$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}\sinh (x)\cosh (y)+\cosh (x)\sinh (y)& =\frac{e^x-e^{-x}}{2}\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x+e^{-x}}{2}\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\ & =\frac{(e^x-e^{-x})(e^y+e^{-y})+(e^x+e^{-x})(e^y-e^{-y})}{4}\\ & =\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}\\ & =\frac{e^{x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{-x-y}}{4}\\ & =\frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}\\ & =\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}\\ & =\sinh (x+y)\end{array}$