TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 180

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $\arctan(x)$ an der Entwicklungsstelle $x_{0}=0$.

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Lösungsvorschlag 1

Wir konstruieren die Taylorreihe für $\arctan(x)$. Wir benötigen zunächst die Ableitungen von $f(x)=\arctan(x)$.
${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\f''(x)&={\frac {-2x}{(1+x^{2})^{2}}}\\f'''(x)&={\frac {6x^{2}-2}{(1+x^{2})^{3}}}\\f^{(4)}(x)&={\frac {24x-24x^{3}}{(1+x^{2})^{4}}}\\f^{(5)}(x)&={\frac {24-240x^{2}+120x^{4}}{(1+x^{2})^{5}}}\end{aligned}}$
Mithilfe der Ableitungen kann nun die Taylorreihe und somit die gesuchte Potenzreihenentwicklung konstruiert werden.
${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}(x)^{n}\\&=0+{\frac {1}{1}}x+0+{\frac {-2}{3!}}x^{3}+0+{\frac {24}{5!}}x^{5}+0{\frac {-720}{7!}}x^{7}+\ldots \\&=x-{\frac {2!}{3!}}x^{3}+{\frac {4!}{5!}}x^{5}-{\frac {6!}{7!}}x^{7}+\ldots \\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag 2

Dieser (elegantere) Lösungsansatz nutzt die Tatsache, dass die erste Ableitung der Funktion gleichzeitig der Grenzwert der geometrischen Reihe ist. Es gilt nämlich mit $q=-x^{2}$
${\begin{aligned}(\arctan(x))'={\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{1-q}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\end{aligned}}$
und somit ${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots$.
Wir integrieren dieser Reihe nun um auf die Potenzreihenentwicklung von $\arctan(x)$ zu kommen.
${\begin{aligned}\arctan(x)&=\int 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots \\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots +c\\&=c+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\end{aligned}}$
Da $\arctan(0)=0$ gilt $c=0$, womit die gesuchte Potenzreihenentwicklung gefunden wäre.