TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 180

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $\arctan (x)$ an der Entwicklungsstelle $x_0=0$.

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Lösungsvorschlag 1

Wir konstruieren die Taylorreihe für $\arctan (x)$. Wir benötigen zunächst die Ableitungen von $f(x)=\arctan (x)$.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{1+x^2}\\ f^{″}(x)& =\frac{-2x}{(1+x^2{)}^2}\\ f^{‴}(x)& =\frac{6x^2-2}{(1+x^2{)}^3}\\ f^{(4)}(x)& =\frac{24x-24x^3}{(1+x^2{)}^4}\\ f^{(5)}(x)& =\frac{24-240x^2+120x^4}{(1+x^2{)}^5}\end{array}$
Mithilfe der Ableitungen kann nun die Taylorreihe und somit die gesuchte Potenzreihenentwicklung konstruiert werden.
$\begin{array}{cc}{T}_n(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x{)}^n\\ & =0+\frac{1}{1}x+0+\frac{-2}{3!}{x}^3+0+\frac{24}{5!}{x}^5+0\frac{-720}{7!}{x}^7+\dots \\ & =x-\frac{2!}{3!}{x}^3+\frac{4!}{5!}{x}^5-\frac{6!}{7!}{x}^7+\dots \\ & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$

Lösungsvorschlag 2

Dieser (elegantere) Lösungsansatz nutzt die Tatsache, dass die erste Ableitung der Funktion gleichzeitig der Grenzwert der geometrischen Reihe ist. Es gilt nämlich mit $q=-x^2$
$\begin{array}{c}(\arctan (x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-q}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n\end{array}$
und somit $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$.
Wir integrieren dieser Reihe nun um auf die Potenzreihenentwicklung von $\arctan (x)$ zu kommen.
$\begin{array}{cc}\arctan (x)& =\int 1-x^2+x^4-x^6+\dots \\ & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots +c\\ & =c+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$
Da $\arctan (0)=0$ gilt $c=0$, womit die gesuchte Potenzreihenentwicklung gefunden wäre.