TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 243

Man berechne:

$\int x\cdot (\ln {x})^{2}\,dx$

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{{Beispiel|1=
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oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Partielle_Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösung

Einfach ein par mal die Partielle Integration.

$\int x\cdot (\ln {x})^{2}\,dx$

$v(x)={\frac {1}{2}}x^{2}$ , $u(x)=(\ln {x})^{2}$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-\int {\frac {1}{2}}x^{2}\cdot 2{\frac {\ln {x}}{x}}\,dx$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-\int x\ln {x}\,dx$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-\left({\frac {1}{2}}x^{2}\cdot \ln {x}-\int {\frac {1}{2}}x^{2}\cdot {\frac {1}{x}}\,dx\right)$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-{\frac {1}{2}}x^{2}\cdot \ln {x}+\int {\frac {1}{2}}x\,dx$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-{\frac {1}{2}}x^{2}\cdot \ln {x}+{\frac {1}{4}}x^{2}$

dann noch das Ergebnis vereinfachen

$={\frac {1}{4}}x^{2}(2(\ln {x}-1)\ln {x}+1)$

Links

WS07 Beispiel 46 http://inf.wikiserver.at/mathe2/index.php/SS08_Beispiel_52